3.3 Tangente à une courbe polaire
Nous voulons maintenant déterminer les tangentes à des courbes polaires. Nous savons que \(x=r\cos(\theta)\) et que \(y=r\sin(\theta)\). Si \(r=f(\theta)\) alors nous avons que \(x=x(\theta)\) et \(y=y(\theta)\), c’est-à-dire que \(x\) et \(y\) sont des fonctions de \(\theta\).
Théorème 3.1 (Tangentes à une courbe polaire) Soit \(x\) et \(y\) deux fonctions de \(\theta\). Si \(r=f(\theta)\), nous avons: \[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{f'(\theta)\sin(\theta)+f(\theta)\cos(\theta)}{f'(\theta)\cos(\theta)-f(\theta)\sin(\theta)} \end{align*}\]
Preuve. Trouvons \(\dfrac{dx}{d\theta}\) et \(\dfrac{dy}{d\theta}\). \[\begin{align*} \dfrac{dx}{d\theta} &= \dfrac{d}{d\theta}\left[f(\theta)\cos(\theta)]\right] \\ &= f'(\theta)\cos(\theta)-f(\theta)\sin(\theta) \\ \dfrac{dy}{d\theta} &= \dfrac{d}{d\theta}\left[f(\theta)\sin(\theta)]\right] \\ &= f'(\theta)\sin(\theta)+f(\theta)\cos(\theta) \end{align*}\] Ainsi, \[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\ &= \dfrac{f'(\theta)\sin(\theta)+f(\theta)\cos(\theta)}{f'(\theta)\cos(\theta)-f(\theta)\sin(\theta)} \end{align*}\]
Nous avons maintenant une formule pour déterminer la pente de la droite tangente.
Exemple 3.9 Soit l’équation \(r=2\cos(\theta)\).
- Trouvez la dérivée \(\dfrac{dy}{dx}\).
- Évaluez \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}}\).
- Évaluez \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{\theta=\frac{\pi}{3}}\).