3.1 Introduction

Les coordonnées polaires sont un autre système pour décrire un point \(P\) de \(\mathbb{R}^2\). Les coordonnées cartésiennes associent à chaque point \(P\) un couple \((x,y)\). Les coordonnées polaires consistent à décrire ce point \(P\) avec le couple \((r,\theta)\), où \(r\) est la longueur du segment de droite reliant l’origine au point \(P\) et \(\theta\) est l’angle entre ce segment de droite et l’axe des \(x\) positifs. La figure 3.1 représente ce type de coordonnées.

Coordonnées polaires d'un point $P$

Figure 3.1: Coordonnées polaires d’un point \(P\)

Il est primordial de pouvoir convertir les coordonnées cartésiennes à des coordonnées polaires et vice-versa.

Proposition 3.1 (Coordonnées cartésiennes à coordonnées polaires) Soit un point \(P\) en coordonnées cartésiennes \((x,y)\). La conversion en coordonnées polaires est: \[\begin{align*} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta &= \text{Arctan}\left(\dfrac{y}{x}\right) \end{align*}\]
Proposition 3.2 (Coordonnées polaires à coordonnées cartésiennes) Soit un point \(P\) en coordonnées polaires \((r,\theta)\). La conversion en coordonnées cartésiennes est: \[\begin{align*} x &= r\cos(\theta) \\ y &= r\sin(\theta) \end{align*}\]

Remarque. Voici quelques remarques:

  1. L’origine, c’est-à-dire le point \((0,0)\) en coordonnées cartésiennes, que l’on appelle pôle, peut s’écrire \((0,\theta)\), et ce, pour toutes les valeurs de \(\theta\) possibles. Ceci signifie qu’il n’existe pas de bijection1 entre les coordonnées cartésiennes et polaires. Par contre, si on enlève l’origine, il en existe une.
  2. Lorsque l’on fixe \(\theta=\theta_0\), l’ensemble formé par \((r,\theta_0)\)est une demi-droite. En acceptant que \(r\) soit négatif, on obtient alors que \((r,\theta_0)\) forme une droite.
  3. Si \(r>0\), alors \((-r,\theta_0)=(r,\theta_0+\pi)\).

Exemple 3.1 Écrivez les points suivants en coordonnées polaires:

  1. \(P_1=(1,1)\)
  2. \(P_2=(-\sqrt{3},1)\)
  3. \(P_3=(0,-2)\)

Exemple 3.2 Écrivez les points suivants en coordonnées cartésiennes:

  1. \((2,\pi/3)\)
  2. \((3,3\pi/4)\)
Exemple 3.3 Écrivez l’équation de la perle de Sluze en coordonnées polaires, si \(y^2=x(8-x)\).

  1. Une bijection est une fonction \(f\) allant d’un ensemble \(A\) à un ensemble \(B\), telle que pour tous les éléments de \(B\), on associe une seule valeur de \(A\).