6.6 L’optimisation avec contraintes

Jusqu’à maintenant, nous avons optimisé des fonctions sans contraintes, c’est-à-dire que nous optimisions la fonction sur tout son domaine. Par contre, nous devons parfois optimiser une fonction sur un ensemble fermé de \(\mathbb{R}^2\).

Le théorème des valeurs extrèmes pour les fonctions d’une seule variable stipule que si \(f\) est continue sur un intervalle fermé \([a,b]\), alors \(f\) atteint un minimum absolu et un maximum absolu.

La situation est semblable pour les fonctions de deux variables.

Définition 6.2 (Ensemble fermé) Un ensemble fermé de \(\mathbb{R}^2\) est un ensemble qui contient ses points frontières.

Par exemple, le disque \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\leq 1\}\) composé de tous les points à l’intérieur du cercle \(x^2+y^2=1\) et de tous les points sur le cercle.

Définition 6.3 (Ensemble borné) Un ensemble borné de \(\mathbb{R}^2\) est un ensemble contenu dans un certain disque. Il est donc d’étendue finie.
Théorème 6.3 (Théorème des valeurs extrèmes pour les fonctions de deux variables) Si \(f(x,y)\) est une fonction continue sur un ensemble borné et fermé \(D\) de \(\mathbb{R}^2\), alors \(f\) atteint un maximum absolu \(f(x_1,y_1)\) et un minimum absolu \(f(x_2,y_2)\) en des points \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) de \(D\).

Pour déterminer les valeurs extrèmes d’une fonction continue \(f(x,y)\) sur un ensemble borné fermé \(D\), dont l’existence est garantie par le théorème 6.3, les étapes sont les suivantes:

  1. Calculez les valeurs de \(f\) aux points critiques de \(f\) dans \(D\);

  2. Calculez les valeurs extrèmes de \(f\) sur la frontière de \(D\);

  3. La plus grande des valeurs des étapes \(1\) et \(2\) est la valeur maximale absolue, la plus petite de ces valeurs est la valeur minimale absolue.

Exemple 6.7 Trouvez les valeurs extrèmes absolues de la fonction \(f(x,y)=x^2-2xy+2y\) sur le rectangle \[ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 2 \} \]

Figure 6.7: La fonction \(f(x,y)=x^2-2xy+2y\)

Exemple 6.8 Trouvez les valeurs minimales et maximales de \(f(x,y)=2xy\) sur le disque \(x^2+y^2\leq 4\).
Exemple 6.9 Trouvez les valeurs extrèmes de \(f(x,y)=x^2ye^{-(x+y)}\) sur la région triangulaire donnée par \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) et \(x+y \leq 4\).
Exemple 6.10 Si la somme de 3 nombres positifs est \(a\), quelle est leur valeur si la somme de leurs carrés est minimale?
Exemple 6.11 Déterminez le point sur le plan \(2x-3y+z=1\) le plus près de l’origine.
Exemple 6.12 Déterminez le point sur le plan \(ax+by+cz=d\) le plus près de l’origine.
Exemple 6.13 Une compagnie de téléphonie veut installer une nouvelle antenne de téléphonie cellulaire pour minimiser le caréé des distances entre cette antennes et ses utilisateurs. Si les positions des \(n\) utilisateurs sont \((x_i,y_i)\), trouvez la position de l’antenne qui minimise le carré de la distance.
Exemple 6.14 Montrez que la boîte rectangulaire de volume maximum inscrite dans une sphère est un cube. Trouvez les dimensions de ce cube ainsi que son volume.
Exemple 6.15 Un canal d’irrigation à une forme trapézoidale et une surface de 50 \(m^2\). Si \(w\) est la longueur de sa base, \(h\) sa hauteur et \(\theta\) l’angle que font les côtés du canal, trouvez \(w\), \(d\) et \(\theta\) qui minimisent le périmètre.