4.7 La continuité

La notion de continuité pour les fonctions de plusieurs variables est similaire à celle des fonctions d’une seule variable.

Définition 4.6 (Continuité pour les fonctions de deux variables) Soit une fonction \(f(x,y)\) et un point \((a,b)\in\text{dom} f\). Nous disons que \(f(x,y)\) est continue au point \((a,b)\) si: \[ \lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y) = f(a,b) \]

Cette définition se généralise facilement aux fonctions de trois variables ou plus.

Exemple 4.17 Déterminez si la fonction suivante:

\[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y)= (0,0) \end{cases} \] est continue en \((0,0)\).
Exemple 4.18 Comment la fonction \(f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2-x^3y^3}{x^2+y^2}\) définie pour tous les \((x,y)\neq (0,0)\) peut-elle être définie à l’origine pour qu’elle soit continue partout sur \(\mathbb{R}^2\)?
Exemple 4.19 Comment la fonction \(f(x,y)=\dfrac{x^3-y^3}{x-y}\) définie pour tous les \(x\neq y\) peut-elle être définie à l’origine pour qu’elle soit continue partout sur \(\mathbb{R}^2\)?

Exemple 4.20 Déterminez si la fonction suivante:

\[ f(x,y) = \begin{cases} \sin\left(\dfrac{x}{y}\right) & \text{si } x\neq 0 \text{ et } y\neq 0 \\ 1 & \text{si } x= 0 \text{ et } y= 0 \end{cases} \] est continue en \((0,0)\).