3.5 Longueur d’une courbe
Théorème 3.2 (Longueur d’une courbe en coordonnées polaires) La longueur d’une courbe en coordonnées polaires définie par \(r=f(\theta)\) où \(\theta_a\leq\theta\leq\theta_b\) est donnée par: \[\begin{align*} L=\int_{\theta_a}^{\theta_b}\sqrt{\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2}d\theta \end{align*}\]
Preuve. La démonstration suivante escamote plusieurs utilisations des sommes de Riemann pour simplifier.
Nous savons que: \[\begin{align*} L &= \int_a^b \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}dx \\ &= \int_a^b \sqrt{(dx)^2\left(1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right)} \\ &= \int_a^b \sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \\ &= \int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}d\theta\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}d\theta\right)^2} \\ &= \int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta \end{align*}\] Nous savons par le théorème 3.1 ce que sont \(\dfrac{dx}{d\theta}\) et \(\dfrac{dy}{d\theta}\). Ainsi: \[\begin{align*} L &= \int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dr}{d\theta}\cos(\theta)-r\sin(\theta)\right)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\sin(\theta)+r\cos(\theta)\right)^2}d\theta \\ &= \ldots \\ &= \int_{\theta_a}^{\theta_b}\sqrt{\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2}d\theta \end{align*}\]
Voici quelques exemple de longueurs d’arc.