5.7 La dérivée directionnelle

Nous avons jusqu’à maintenant étudié les dérivées partielles d’une fonction par rapport aux variables \(x\) et \(y\). Celles-ci correspondent respectivement au taux de variation de la fonction dans la direction de l’axe des \(x\) et de l’axe des \(y\). Nous aimerions maintenant trouver le taux de variation dans une autre direction. Nous utiliserons pour ce faire la dérivée directionnelle.

Définition 5.6 (La dérivée directionnelle) Soit une fonction \(z=f(x,y)\) une fonction différentiable et \(\overrightarrow{u}=[u_1,u_2]\), un vecteur unitaire (c’est-à-dire un vecteur dont la norme est égale à \(1\)). Nous disons que la dérivée de \(f\) dans la direction \(\overrightarrow{u}\), notée \(D_{\overrightarrow{u}}f\),est donnée par: \[ D_{\overrightarrow{u}}f = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+hu_1,y+hu_2)-f(x,y)}{h} \] si cette limite existe.

Pour visualiser la dérivée directionnelle, nous vous invitons à utiliser l’application GeoGebra de la section 5.9. Celle-ci vous permet de changer la direction du vecteur unitaire et le point auquel vous visualisez la dérivée directionnelle.

Remarque. Nous remarquons que si \(\overrightarrow{u}=[1,0]=\overrightarrow{\imath}\), nous obtenons la dérivée partielle par rapport à \(x\). D’une manière similaire, si \(\overrightarrow{u}=[0,1]=\overrightarrow{\jmath}\), nous obtenons la dérivée partielle par rapport à \(x\).

L’utilisation de la définition 5.6 pour calculer des dérivées directionnelles n’est pas appropriée pour la plupart des problèmes. Le théorème suivant nous permettra de calculer la dérivée directionnelles plus simplement.

Théorème 5.4 Soit une fonction \(z=f(x,y)\) différentiable au point \((x_0,y_0)\) et soit \(\overrightarrow{u}=[u_1,u_2]\) un vecteur unitaire. Nous avons: \[ D_{\overrightarrow{u}}f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)u_1 + f_y(x_0,y_0)u_2 \]

Preuve. Posons \(g(h)=f(x+u_1h,y+u_2h)\). Nous avons: \[\begin{align} D_{\overrightarrow{u}}f(x_0,y_0) &= \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+hu_1,y+hu_2)-f(x,y)}{h} \notag\\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{g(h)-g(0)}{h} \notag\\ &= g'(0) \tag{5.1} \quad \text{par définition de $g'$} \end{align}\] Posons manitenant \(x=x_0+u_1h\) et \(y=y_0+u_2h\). D’où \(g(h)=f(x,y)\). Par la règle de dérivation en chaîne, nous avons \(g'(h)=f_xu_1+f_yu_2\). Si nous évaluons cette expression en \(h=0\) , nous obtenons: \[\begin{align*} g'(0) &= f_x(x_0,y_0)u_1+f_y(x_0,y_0)u_2 \\ &= D_{\overrightarrow{u}}f(x_0,y_0) \end{align*}\] La dernière ligne est obtenue par l’équation (5.1).

Exemple 5.26 Déterminez le taux de variation de \(f(x,y)=\cos(xy)+y^2\) dans la direction du vecteur \(\overrightarrow{u}=[1,1]\).

Exemple 5.27 Trouvez la dérivée directionnelle de \(f(x,y)=y^4+2xy^3+x^2y^2\) en \((0,1)\) dans les directions suivantes:

1. \(\overrightarrow{u} =[1,2]\)
2. \(\overrightarrow{u} =[-2,1]\)
3. \(\overrightarrow{u} =[1,1]\)