2.1 Introduction
Les équations différentielles sont à la base de la modélisation de divers phénomènes physiques, statistiques, chimiques, biologiques ou économiques, par exemple. Nous n’étudierons pas en détail comment obtenir ces équations différentielles mais nous verrons comment résoudre trois types d’équations différentielles différents.
Nous étudierons les types suivants:
- Les équations différentielles à variables séparables
- Les équations différentielles linéaires
- Les équations différentielles à coefficients constants d’ordre 2
Définition 2.1 (Équation différentielle ordinaire) Une équation différentielle ordinaire est une équation de la forme:
\[\begin{align*}
F(t, y, y^{(1)}, y^{(2)},\ldots, y^{(n)})=0
\end{align*}\]
où \(y\) est une fonction inconnue de \(t\) et les \(y^{(k)}\) sont les dérivées k-ièmes de \(y\).
Exemple 2.1 Voici quelques exemples d’équations différentielles:
- \(\dfrac{dy}{dt}=2ty\)
- \((y^{(5)})^3+8ty^{(1)}+12y=1\)
- \(y''+by'+ky=\sin(\omega x)\)
Définition 2.2 (L’ordre d’une équation différentielle) L’ordre d’une équation différentielle est l’entier représentant l’ordre de la dérivée la plus élevée de la fonction inconnue apparaissant dans l’équation différentielle.
Exemple 2.2 Voici quelques exemples d’ordre de diverses équations différentielles:
- \(\dfrac{dy}{dt}=2ty\), ordre de 1
- \((y^{(5)})^3+8ty^{(1)}+12y=1\), ordre de 5
- \(y''+by'+ky=\sin(\omega x)\), ordre de 2
Définition 2.3 (Solution d’une équation différentielle) Une fonction (ou une équation) est une solution d’une équation différentielle si, en la remplaçant ainsi que ses dérivées dans l’équation différentielle, l’égalité est vérifiée.
Exemple 2.3 Vérifiez que \(y(x)=e^{2x}\) est une solution de l’équation différentielle \(\dfrac{d^2y}{dx^2}-3\dfrac{dy}{dx}+2y=0\).
Définition 2.4 (Solution générale ou famille de solutions d’une équation différentielle) La solution générale ou famille de solutions d’une équation différentielle est l’ensemble de toutes les fonctions qui sont des solutions de l’équation différentielle.
Exemple 2.4 Montrez que \(y(t)=t^2+C\) où \(C\in\mathbb{R}\) est la solution générale de l’équation différentielle \(\dfrac{dx}{dt}=2t\).
Définition 2.5 (Condition initiale et solution particulière d’une équation différentielle) Une condition initiale d’une équation différentielle est un point \((x_0,y_0)\) par lequel passe la solution, où \(x_0\) et \(y_0\in\mathbb{R}\). Une solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale est appelée solution particulière de l’équation différentielle.
Remarque. Lorsque qu’une équation différentielle est d’ordre \(n\), nous aurons besoin de \(n\) conditions initiales pour trouver la solution particulière.