1.2 Les séries de Taylor
Nous avons vu que l’approximation d’une fonction par un polynôme est meilleure lorsque le degré de ce polynôme est élevé. Dans cette section, nous verrons que lorsque le degré du polynôme tend vers l’infini, nous obtenons une série de Taylor.
Ces exemples nous amènent à nous demander si une fonction \(f(x)\) est égale à sa série de Taylor, et si c’est le cas, pour quelles valeurs de \(x\). Nous savons que: \[\begin{align*} f(x)&=P_n(x)+E_n(x)\\ \lim_{n\to \infty}f(x)&=\lim_{n\to \infty}(P_n(x)+E_n(x))\quad\text{En prenant la limite de chaque côté}\\ f(x)&=\lim_{n\to \infty}(P_n(x))+\lim_{n\to \infty}(E_n(x))\\ f(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\lim_{n\to \infty}(E_n(x)) \end{align*}\]
Ainsi, pour que \(f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\), il faut que \(\lim_{n\to \infty}E_n(x)=0\). Ce qui signifie que l’erreur tend vers zéro lorsque le degré du polynôme de Taylor tend vers l’infini.
De plus, il faut que la série converge, c’est-à-dire que: \[\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \end{align*}\] nous donne une valeur finie. Puisque la limite dépend de \(x\), il faudra trouver les valeurs de \(x\) qui font que la série converge. Ces valeurs forment l’intervalle de convergence de la série.
Théorème 1.3 (Le critère généralisé de d’Alembert) Soit une série de la forme \(\sum_{k=0}^{\infty}c_k\) et soit \(L=\lim_{k\to\infty}\left\vert\dfrac{c_{k+1}}{c_k}\right\vert\).
- Si \(L<1\), alors la série converge.
- Si \(L>1\), alors la série diverge.
- Si \(L=1\), alors on ne peut rien conclure.
1.2.1 L’obtention de séries de Taylor à partir de séries connues.
Il est souvent plus simple de trouver une série de Taylor, à partir d’une série de Taylor déjà connue. La proposition 1.1 contient la liste des séries de Taylor usuelles.
Proposition 1.1 (Une liste des séries de Taylor des fonctions usuelles) Voici une liste des séries de Taylor des fonctions usuelles.
- \(e^x=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^k}{k!}\), pour tout \(x\in\mathbb{R}\)
- \(\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}\), pour tout \(x\in ]-1,\ 1]\)
- \(\dfrac{1}{1-x}=\sum_{k=1}^{\infty} x^k\), pour tout \(x\in ]-1,\ 1[\)
- \((a+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^{n-k}x^k\), où \(n\in\mathbb{N}\), pour tout \(x\in\mathbb{R}\)
- \((1+x)^p=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{p(p-1)(p-2)\ldots(p-k+1)}{k!}x^k\), où \(p\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\), pour tout \(x\in ]-1,\ 1]\)
- \(\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}\), pour tout \(x\in\mathbb{R}\)
- \(\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}\), pour tout \(x\in\mathbb{R}\)
- \(\text{Arctan}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}\), pour tout \(x\in [-1,\ 1]\)
Pour obtenir des séries de Taylor, les opérations suivantes sont possibles:
- Changement de variables
- Addition et soustraction de séries de Taylor
- Multiplication de séries de Taylor
- Division de séries de Taylor
- Dérivation de séries de Taylor
- Intégration de séries de Taylor