2.3 Les équations différentielles linéaires

Définition 2.7 (Équation différentielle linéaire) Une équation différentielle linéaire est de la forme: \[\begin{align*} \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t) \end{align*}\] où \(P(t)\) et \(Q(t)\) sont des fonctions qui ne doivent dépendre que de la variable indépendante.

Exemple 2.13 Voici quelques exemples d’équations différentielles linéaires:

• \(y'+t^2y=t^3\)
• \(x^3y'-x^4y=1\) (Aprés division par \(x^2\))
• \(y'=y\)

Pour être en mesure de résoudre ce type d’équations différentielles, nous devrons tout d’abord utiliser une astuce.

Posons \(\mu(t)\) une fonction inconnue. Nous avons donc: \[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}[\mu y] &= \mu\dfrac{dy}{dt}+y\dfrac{d\mu}{dt} \\ &= \mu\left(Q(t)-P(t)y\right) + y\dfrac{d\mu}{dt} \qquad \text{car EDO linéaire}\\ &= \mu Q(t)-\mu P(t)y +y\dfrac{d\mu}{dt} \\ &= \mu Q(t)+y\left(\underbrace{\dfrac{d\mu}{dt}-\mu P(t)}_{\text{posons égal à 0}}\right) \end{align*}\]

Ainsi: \[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}[\mu y] &= \mu Q(t) \\ \mu y &= \int \mu Q(t) \ dt\\ y &= \dfrac{1}{\mu} \int \mu Q(t) \ dt \end{align*}\]

Pour pouvoir résoudre l’intégrale précédente, nous avons besoin de connaître \(\mu\) et nous savons que: \[\begin{align*} \dfrac{d\mu}{dt}-\mu P(t) &= 0 \\ \dfrac{d\mu}{dt} &= \mu P(t) \\ \int\dfrac{1}{\mu}d\mu &= \int P(t)dt \\ \ln |\mu| &= \int P(t)dt \\ \mu &= e^{\int P(t)dt} \end{align*}\]

Pour résoudre une équation différentielle linéaire, il faut donc:

1. Trouver \(\mu\): \(\mu = e^{\int P(t)dt}\)
2. Trouver \(y\): \(y = \dfrac{1}{\mu} \int \mu Q(t) \ dt\)

Exemple 2.14 Trouvez la solution générale de \(y'+3\dfrac{y}{t}=1\).

Exemple 2.15 Trouvez la solution générale de \(x^2y'+xy=1\) où \(x>0\) et \(y(1)=2\).

Exemple 2.16 Trouvez la solution générale de \(ty'+2y=t^2-t+1\).

Exemple 2.17 Trouvez la solution générale de \(\cos(x)y'+\sin(x)y=2\cos(x)^3\sin(x)-1\).

Exemple 2.18 Résolvez l’équation différentielle du parachutiste, comme vu à l’exemple 2.11, en utilisant les équations différentielles linéaires. L’équation différentielle est donnée par : \(\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{kv}{m}=g\).

2.3.1 Problèmes de mélange

Dans des problèmes de mélange, nous cherchons \(Q(t)\) qui représente la quantité d’une substance en fonction du temps. L’équation différentielle de base de ce genre de problèmes est:

Taux de variation de \(Q(t)\) = Taux d’entrée de \(Q(t)\) - Taux de sortie de \(Q(t)\)

Exemple 2.19 Une cuve contient 10 L d’eau salée dans laquelle 2 kg de sel sont dissout. De l’eau salée contenant 1 kg de sel par litre entre dans la cuve à un débit constant de 3 L/min, et l’eau mélangée est vidée à un taux de 4 L/min. Trouvez la quantité de sel en fonction du temps \(Q(t)\).

Exemple 2.20 Une cuve contient 40 L d’eau pure. De la saumure avec 3 kg de sel par litre entre dans la cuve à un débit constant de 2 L/min, et la mixture mélangée s’écoule à un débit constant de 3 L/min.

1. Trouvez la quantité de sel en fonction du temps \(Q(t)\).
2. Quelle est la quantité de sel lorsqu’il reste 20 L dans la cuve?

2.3.2 Inverser la dérivée

Pour obtenir une équation différentielle linéaire, il faut parfois étudier l’inverse de votre dérivée.

Plutôt que d’étudier \(\dfrac{dy}{dx}\), nous pouvons étudier \(\dfrac{dx}{dy}\).

Exemple 2.21 Trouvez la solution de l’équation différentielle \((e^y-2xy)\dfrac{dy}{dx}=y^2\).

Exemple 2.22 Trouvez les familles de courbes orthogonales à \(y^2=ce^x+x+1\) où \(c\in\mathbb{R}\).