2.5 Applications des équations différentielles du deuxième ordre à coefficients constants

Nous discuterons en particulier de l’oscillateur harmonique forcé.

Exemple 2.32 (Oscillateur harmonique forcé) Soit un ressort de constante \(k\) auquel nous attachons une masse \(M\). Si le frottement est proportionnel à la vitesse de la masse et que celle-ci subit une force périodique, nous pouvons décrire le mouvement avec l’équation suivante: \[\begin{align*} \dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{c}{M}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{k}{M}x &= \dfrac{F_0}{M}\cos(\omega t) \end{align*}\] Nous pouvons réécrire l’équation précédente en introduisant les variables \(b=\dfrac{c}{2M}\) et \(a=\sqrt{\dfrac{k}{M}}\): \[\begin{align*} \dfrac{d^2x}{dt^2}+2b\dfrac{dx}{dt}+a^2x &= \dfrac{F_0}{M}\cos(\omega t) \end{align*}\] Ce changement nous simplifiera le travail.

1. Trouvez la solution homogène de l’équation différentielle.
2. Supposez que \(b=0\), c’est-à-dire qu’il n’y a pas de frottement. Trouvez la solution particulière dans le cas où \(a\neq \omega\). (Vous étudiez dans ce cas la situation des battements). Pour en savoir plus sur le phénomène de battements.
3. Supposez que \(b=0\), c’est-à-dire qu’il n’y a pas de frottement. Trouvez la solution particulière dans le cas où \(a =\omega\). (Vous étudiez dans ce cas la situation de résonnance) Pour voir en action le phénomène de résonnance, Tacoma Narrows Bridge .