6.2 L’approximation quadratique

Nous voulons approcher une fonction \(f(x,y)\) autour d’un point \((x_0,y_0)\) par un paraboloïde. Ceci correspond à l’analogue de l’approximation d’une fonction par un polynôme de Taylor de degré 2. Nous pouvons montrer que le paraboloïde recherché est donné par:

\[\begin{equation} \begin{split} Q(x,y) &= f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(y-y_0)+ \\ &\qquad \dfrac{1}{2!}[f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) \\ & \qquad \qquad +f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2] \end{split} \tag{6.1} \end{equation}\]

Nous utiliserons l’équation (6.1) pour démontrer la nature des points critiques d’une fonction de deux variables.