4.5 Domaine
Définition 4.4 (Domaine d’une fonction) Le domaine d’une fonction réelle \(f(x_1,\ldots,x_n)\) (ou domaine de définition d’une fonction), noté \(\text{dom} f\), est un sous ensemble de \(\mathbb{R^n}\) qui contient toutes les valeurs de \(x_i\) avec \(i=1,\ldots, n\), pour lesquelles la règle de correspondance de \(f(x_1,\ldots,x_n)\) est définie.
Pour déterminer le domaine d’une fonction réelle \(f(x_1,\ldots,x_n)\), il suffit de suivre les étapes suivantes:
- Vérifier si \(f(x_1,\ldots,x_n)\) est définie dans un contexte, afin de voir si celui-ci restreint les valeurs des variables indépendantes.
- Enlever les valeurs des variables indépendantes qui annulent le dénominateur.
- L’argument des racines paires doit être plus grand ou égal à zéro, c’est-à-dire \(\geq 0\).
- L’argument des logarithmes doit être strictement plus grand que zéro, c’est-à-dire \(> 0\).
- Les fonctions trigonométriques usuelles ont souvent des dénominateurs, par exemple \(\tan\), \(\cot\), \(\csc\) et \(\sec\). De plus, les fonctions trigonométriques inverses ont souvent des domaines restreints.
Voici quelques exemples.
Exemple 4.7 Déterminez le domaine des fonctions suivantes:
- \(f(x,y)=x^2+y^2\)
- \(f(x,y)=\dfrac{1}{9-x^2-y^2}\)
- \(f(x,y)=\dfrac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x-y}\)
- \(f(x,y)=\ln(4-x^2-4y^2)\)
- \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-1}+\sqrt{4-x^2-y^2}\)
- \(f(x,y)=\sqrt{x(1-|y|)}\)
- \(f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2-y^2}\)
- \(f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-y^2}}\)