5.3 Applications des dérivées partielles

Voici quelques applications des dérivées parttielles.

Exemple 5.8 (L’équation de Laplace) L’équation de Laplace apparaît dans de nombreuses applications de physique théorique. Pour en savoir plus, Wikipédia: Équation de Laplace.

Montrez que les fonctions \(f(x,y)=e^{kx}\cos(ky)\) et \(g(x,y)=e^{kx}\sin(ky)\) où \(k\) est une constante, sont des solutions de l’équation de Laplace donnée par:

\[ \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 \]

Exemple 5.9 (L’équation d’onde) L’équation d’onde est une équation qui décrit la propagation d’une onde. Pour en savoir plus, Wikipédia: Équation d’onde.

Soit \(f(u)\) et \(g(u)\) deux fonctions dérivables deux fois. Montrez que \(\omega=f(x-ct)+g(x+ct)\) où \(c\) est une constante, est une solution de l’équation d’onde donnée par:

\[ \dfrac{\partial^2 \omega}{\partial t^2} = c^2\dfrac{\partial^2 \omega}{\partial x^2} \]

Exemple 5.10 (L’équation de la chaleur) L’équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles pour décrire le phénomène physique de conduction thermique. Pour en savoir plus, Wikipédia: Équation de la chaleur.

Montrez que la fonction \(u(x,t)=t^{-\tfrac{1}{2}}e^{-\tfrac{x^2}{4t}}\) est une solution de l’équation de la chaleur donnée par:

\[ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]