8.5 Le changement de coordonnées pour les intégrales triples
Le principe du Jacobien vu à la section 7.4 peut être généralisé pour les intégrales triples.
Définition 8.3 Soit une transformation dérivable:
\[\begin{align*}
T:(u,v,w)\rightarrow (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))
\end{align*}\]
Nous appelons Jacobien le déterminant:
\[\begin{align*}
J&=\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}
\end{array}\right|
\end{align*}\]
Remarque. Nous notons le Jacobien d’une transformation par \(J\), \(J_{u,v,w}\) ou \(\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\).
Exemple 8.14 Trouvez le volume de l’ellipsoïde \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\).