4.4 Comment étudier les graphiques de fonctions de deux variables
Comme vous avez pu voir dans les figures précédentes de la section 4.3, les surfaces en trois dimensions peuvent être complexes et difficiles à dessiner à la main. Pour tenter de nous aider à représenter graphiquement ces fonctions, nous allons introduire deux nouveaux outils: les coupes transversales et les courbes de niveaux.
Remarque. Lorsque vous vous trouvez dans la version en ligne de ce document et que vous placez le curseur de votre souris sur les figures précédentes, vous devriez apercevoir des lignes et des courbes noires, centrées sur votre curseur. Ces lignes et courbes correspondent aux coupes transversales et aux courbes de niveaux.
4.4.1 Les coupes transversales
L’idée des coupes transversales est de fixer la valeur de l’une des deux variables indépendantes. À ce moment, nous observons la fonction dans le plan où est fixé la variable. Si nous fixons \(x=k\) où \(k\in\mathbb{R}\), nous coupons la surface avec le plan \(x=k\). Nous étudions donc une courbe dans le plan \(x=k\) et cette courbe se trouve dans un espace à deux dimensions.
Pour bien visualiser les coupes transversales, nous vous invitons à utiliser l’application GeoGebra de la section 4.8.
Exemple 4.1 Dessinez les coupes transversales de la fonction \(z=f(x,y)=x^2+y\).
Déterminons tout d’abord les familles de courbes obtenues lorsque nous fixons la valeur de la variable \(x\). Posons \(x=k\) où \(k\) est une constante. Ainsi \(f(k,y)=z=k^2+y\). Donc dans le plan \(x=k\), l’allure de la fonction est une droite d’équation \(z=y+k^2\), comme on peut le voir à la figure 4.13.
Figure 4.13: Graphique de \(f(x,y)=x^2+y\) et du plan \(x=-1\)
Déterminons maintenant les familles de courbes obtenues lorsque nous fixons la valeur de la variable \(y\). Posons \(y=k\) où \(k\) est une constante. Ainsi \(f(x,k)=z=x^2+k\). Donc dans le plan \(y=k\), l’allure de la fonction est une parabole d’équation \(z=x^2+k\), comme on peut le voir à la figure 4.14.
Figure 4.14: Graphique de \(f(x,y)=x^2+y\) et du plan \(y=1\)
4.4.2 Les courbes de niveaux
Définition 4.3 (Courbes de niveaux) Soit une fonction définie par \(z=f(x,y)\) et \(k\in\mathbb{R}\). La courbe de niveau \(k\) correspond à l’ensemble des points \((x,y)\) tels que \(f(x,y)=k\).
Remarque. Les courbes de niveaux correspondent donc à une coupe transversale de la fonction lorsque nous fixons la variable dépendante.
La fonction est constante le long de ses courbes de niveaux.
Les applications les plus répandues des courbes de niveaux sont dans les cartes topographiques. Une carte topographique est une carte à échelle réduite représentant le relief déterminé par altimétrie et les aménagements humains d’une région géographique de manière précise et détaillée sur un plan horizontal. La figure 4.15 représente une carte topographique du Mont Saint-Grégoire. Dans la version en ligne de ce document, vous pouvez vous déplacer dans la carte et aller voir le relief topographique ailleurs sur la planète.
Figure 4.15: Carte topographique du Mont Saint-Grégoire
Un autre exemple de carte topographique peut être obtenu en utilisant des données topographiques du volcan Maunga Whau situé dans la région d’Auckland. Les données sont distribuées sur une grille de 10 mètres par 10 mètres. La figure 4.16 représente le volcan en trois dimensions.
Figure 4.16: Représentation du volcan Maunga Whau
Nous pouvons représenter les courbes de niveaux de ce volcan comme à la figure 4.17.
Figure 4.17: Courbes de niveaux du volcan Maunga Whau
Faisons maintenant quelques exemples.
Exemple 4.2 Déterminez la nature des courbes de niveaux du paraboloïde \(f(x,y)=x^2+y^2\). Dessinez quelques courbes de niveaux.
Exemple 4.3 Trouvez les courbes de niveaux de la fonction \(f(x,y)=x^2-y\).
Exemple 4.4 Trouvez les courbes de niveaux de la fonction \(f(x,y)=ye^{-|x|}\).
Exemple 4.5 Trouvez les courbes de niveaux de la fonction \(f(x,y)=e^{x^2-y^2}\).
Exemple 4.6 Trouvez les courbes de niveaux de la fonction \(f(x,y)=\ln(4-x^2-4y^2)\).
4.4 Comment étudier les graphiques de fonctions de deux variables
Comme vous avez pu voir dans les figures précédentes de la section 4.3, les surfaces en trois dimensions peuvent être complexes et difficiles à dessiner à la main. Pour tenter de nous aider à représenter graphiquement ces fonctions, nous allons introduire deux nouveaux outils: les coupes transversales et les courbes de niveaux.
4.4.1 Les coupes transversales
L’idée des coupes transversales est de fixer la valeur de l’une des deux variables indépendantes. À ce moment, nous observons la fonction dans le plan où est fixé la variable. Si nous fixons \(x=k\) où \(k\in\mathbb{R}\), nous coupons la surface avec le plan \(x=k\). Nous étudions donc une courbe dans le plan \(x=k\) et cette courbe se trouve dans un espace à deux dimensions.
Pour bien visualiser les coupes transversales, nous vous invitons à utiliser l’application GeoGebra de la section 4.8.
La figure 4.12 représente la fonction \(f(x,y)\).
Figure 4.12: Graphique de \(f(x,y)=x^2+y\)
Déterminons tout d’abord les familles de courbes obtenues lorsque nous fixons la valeur de la variable \(x\). Posons \(x=k\) où \(k\) est une constante. Ainsi \(f(k,y)=z=k^2+y\). Donc dans le plan \(x=k\), l’allure de la fonction est une droite d’équation \(z=y+k^2\), comme on peut le voir à la figure 4.13.
Figure 4.13: Graphique de \(f(x,y)=x^2+y\) et du plan \(x=-1\)
Déterminons maintenant les familles de courbes obtenues lorsque nous fixons la valeur de la variable \(y\). Posons \(y=k\) où \(k\) est une constante. Ainsi \(f(x,k)=z=x^2+k\). Donc dans le plan \(y=k\), l’allure de la fonction est une parabole d’équation \(z=x^2+k\), comme on peut le voir à la figure 4.14.
Figure 4.14: Graphique de \(f(x,y)=x^2+y\) et du plan \(y=1\)
4.4.2 Les courbes de niveaux
Les applications les plus répandues des courbes de niveaux sont dans les cartes topographiques. Une carte topographique est une carte à échelle réduite représentant le relief déterminé par altimétrie et les aménagements humains d’une région géographique de manière précise et détaillée sur un plan horizontal. La figure 4.15 représente une carte topographique du Mont Saint-Grégoire. Dans la version en ligne de ce document, vous pouvez vous déplacer dans la carte et aller voir le relief topographique ailleurs sur la planète.
Figure 4.15: Carte topographique du Mont Saint-Grégoire
Un autre exemple de carte topographique peut être obtenu en utilisant des données topographiques du volcan Maunga Whau situé dans la région d’Auckland. Les données sont distribuées sur une grille de 10 mètres par 10 mètres. La figure 4.16 représente le volcan en trois dimensions.
Figure 4.16: Représentation du volcan Maunga Whau
Nous pouvons représenter les courbes de niveaux de ce volcan comme à la figure 4.17.
Figure 4.17: Courbes de niveaux du volcan Maunga Whau
Faisons maintenant quelques exemples.