5.6 La règle de dérivation en chaîne et la dérivation implicite

Nous savons que si \(y=f(x)\) et \(x=x(t)\), alors la dérivée de la composition des fonctions \(f\circ x\) est:

\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{df}{dx}\dfrac{dx}{dt} \]

C’est ce que nous nommons la règle de dérivation en chaîne. Nous voulons maintenant introduire une règle similaire pour les fonctions de plusieurs variables. Débutons par étudier la règle pour les fonctions de deux variables. La généralisation pour les fonctions de trois variables ou plus se fait de façon similaire.

Théorème 5.2 (La règle de dérivation en chaîne pour les fonctions de deux variables) Soit une fonction différentiable \(z=f(x,y)\) et soit \(x=x(t)\) et \(y=y(t)\). Nous avons alors:

\[ \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \]

Remarque. La dérivée \(\dfrac{dz}{dt}\) est une dérivée habituelle et non partielle. En effet, la fonction \(z=f(x,y)\) ne dépend que d’une seule variable, \(t\). Lorsqu’une fonction dépend d’une seule variable, nous utilisons \(d\) et lorsqu’elle dépend de deux variables ou plus, nous utilisons \(\partial\).

La manière la plus simple de trouver une dérivée à l’aide du théorème 5.2, est de construire un schéma de dérivation. Si nous dessinons le schéma de dérivaton de la fonction du théorème 5.2, nous obtenons l’image suivante.

Pour dériver à la chaîne à l’aide de la figure précédente, nous partons du haut de l’arbre et nous parcourons toutes les branches qui se rendent jusqu’à la variable par rapport à laquelle nous dérivons, en multipliant les dérivées. Nous additionnons toutes les branches pour obtenir la dérivée.

Exemple 5.17 Trouvez \(\dfrac{dz}{dt}\) si \(z=e^{xy^2}\), \(x=t\cos(t)\) et \(y=t\sin(t)\).

Exemple 5.18 Trouvez \(\dfrac{dz}{dt}\) si \(z=\sin(x^2y)\), \(x=2t^2\) et \(y=2+\frac{1}{t}\).

Exemple 5.19 Trouvez la dérivée de \(y=(\sin(x))^x\) de deux manières différentes.

Nous voulons maintenant savoir ce qui se produit lorsque nous avons une fonction \(z=f(x,y)\) différentiable, \(x=x(u,v)\) et \(y=y(u,v)\).

Théorème 5.3 Soit une fonction \(z=f(x,y)\) différentiable, \(x=x(u,v)\) et \(y=y(u,v)\). Nous avons: \[\begin{align*} \dfrac{\partial z}{\partial u} &= \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial z}{\partial v} &= \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial v} \end{align*}\]

Preuve. Nous ne ferons pas la preuve exacte mais nous allons dessiner le schéma de dérivation.

Remarquons que si nous suivons toutes les branches de l’arbre en multipliant les dérivées et en additionnant les branches, nous obtenons le résultat du théorème. ```

Exemple 5.20 Déterminez \(\dfrac{\partial z}{\partial u}\) et \(\dfrac{\partial z}{\partial v}\) si \(z=x^2+y^2\), \(x=uv\) et \(y=\dfrac{u}{v}\).

Exemple 5.21 Déterminez \(\dfrac{\partial z}{\partial u}\) et \(\dfrac{\partial z}{\partial v}\) si \(z=\sqrt{x^2+y^2}\), \(x=e^{uv}\) et \(y=1+u^2\cos(v)\).

5.6.1 Les dérivées de surfaces implicites

Certaines surfaces sont définies de façon implicites et il est parfois plus simple de les dériver implicitement plutôt que de tenter de les dériver de façon explicite. De plus, certaines surfaces ne peuvent pas être exprimées de façon explicite.

Pour dériver de façon implicite, il faut garder en mémoire que si la fonction possède \(n\) variables, alors une des \(n\) variables dépend des \(n-1\) autres.

Exemple 5.22 Trouvez \(\dfrac{\partial z}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial z}{\partial y}\) si \(x^2+y^2+z^2=R^2\), où \(R\) est une constante.

Exemple 5.23 Utilisez les dérivées trouvées à l’exemple (exm:deriv-implicite-sphere) pour trouver l’équation du plan tangent à la sphère \(x^2+y^2+z^2=3\) au point (1,1,1).

Exemple 5.24 Trouvez l’équation du plan tangent à la surface \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\) au point \(\left( \frac{a}{\sqrt{3}},\frac{b}{\sqrt{3}},\frac{c}{\sqrt{3}} \right)\).

Exemple 5.25 Utilisez le changement de variables \(r=x+ct\), \(s=x-ct\) et \(w(r,s)=u(x,t)\) pour transformer l’équation suivante: \[ \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]