5.5 Les fonctions différentiables
5.5.1 Les différentielles
5.5.2 Le calcul d’incertitude
Nous allons maintenant retrouver certaines règles de calcul d’incertitude à l’aide de la différentielle totale d’une fonction.
Soit une fonction \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) une donnée dépendant de \(n\) mesures notées \(x_1\), \(x_2\), …, \(x_n\). D’après les notions de différentielle, nous avons:
\[ df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \ldots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n} dx_n \] Nous sommes maintenant en mesure de calculer une valeur maximale pour \(df\):
\[ |df| \leq \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\right| |dx_1| + \ldots + \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right| |dx_n| \]
En notant les incertitudes \(\Delta x = |dx|\) pour toutes les mesures, nous obtenons la relation suivante en prenant la valeur maximale de l’incertitude :
\[ \Delta f = \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_1}\right| \Delta x_1 + \ldots + \left|\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right| \Delta x_n \]
5.5.2.1 L’addition ou la soustraction de deux mesures.
Soit \(f(x_1,x_2)=x_1\pm x_2\). Nous avons: \[\begin{align*} \Delta f &= \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 + \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \right| \Delta x_2 \\ &= \Delta x_1 \pm \Delta x_2 \end{align*}\] Ceci implique que lors de l’addition ou de la soustraction de deux mesures, les erreurs absolues sont additionnées.
5.5.2.2 Le produit d’une mesure par une constante
Soit \(f(x_1)=kx_1\) où \(k\) est une constante. Nous avons: \[\begin{align*} \Delta f &= \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 \\ &= |k| \Delta x_1 \end{align*}\] Ceci implique que lors du produit d’une mesure par une constante, l’erreur absolue de la mesure est multipliée par la valeur absolue de la constante.
5.5.2.3 Le produit de deux mesures
Soit \(f(x_1,x_2)=x_1 \cdot x_2\). Nous avons: \[\begin{align*} \Delta f &= \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 + \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \right| \Delta x_2 \\ &= |x_2| \Delta x_1 + |x_1| \Delta x_2 \\ \dfrac{\Delta f}{f} &= \dfrac{|x_2|}{x_1\cdot x_2}\Delta x_1 + \dfrac{|x_1|}{x_1\cdot x_2}\Delta x_2 \\ &= \dfrac{\Delta x_1}{x_1} + \dfrac{\Delta x_2}{x_2} \end{align*}\] Ceci implique que lors du produit de deux mesures, les erreurs relatives sont additionnées.
5.5.2.4 Le quotient de deux mesures
Soit \(f(x_1,x_2)=\dfrac{x_1}{x_2}\). Nous avons: \[\begin{align*} \Delta f &= \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 + \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_2} \right| \Delta x_2 \\ &= \left| \dfrac{1}{x_2} \right| \Delta x_1 + \left| \dfrac{-x_1}{x_2^2} \right| \Delta x_2 \\ \dfrac{\Delta f}{f} &= \left| \dfrac{1}{x_2}\dfrac{x_2}{x_1} \right| \Delta x_1 + \left| \dfrac{-x_1}{x_2^2}\dfrac{x_2}{x_1} \right| \Delta x_2 \\ &= \dfrac{\Delta x_1}{x_1} + \dfrac{\Delta x_2}{x_2} \end{align*}\] Ceci implique que lors du quotient de deux mesures, les erreurs relatives sont additionnées.
5.5.2.5 La puissance d’une mesure
Soit \(f(x_1)=x_1^n\) où \(n\in\mathbb{R}\). Nous avons: \[\begin{align*} \Delta f &= \left| \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \right| \Delta x_1 \\ &= |nx_1^{n-1}| \Delta x_1 \\ \dfrac{\Delta f}{f} &= \left| \dfrac{nx_1^{n-1}}{x_1^n} \right| \Delta x_1 \\ &= |n| \dfrac{\Delta x_1}{x_1} \end{align*}\] Ceci implique que lors du calcul de la puissance d’une mesure, nous multiplions l’erreur relative par la valeur absolue de la puissance \(n\).