1.1 Les polynômes de Taylor et de MacLaurin
De tous les types de fonctions, les fonctions polynomiales sont celles qui se dérivent et s’intègrent le plus facilement. De plus, si leur degré est inférieur ou égal à 5, des formules permettent de trouver facilement leurs zéros. Pour ces raisons, l’écriture d’une fonction \(f(x)\) sous la forme d’un polynôme de degré \(n\), \(P_n(x)\), nous permet de l’étudier aisément. Cependant, en écrivant une fonction sous la forme d’un polynôme, nous obtenons une approximation.
L’approche de Taylor et de MacLaurin est couramment utilisée pour transformer une fonction en polynôme.
1.1.1 Les polynômes de MacLaurin
Pour savoir de quelle manière exprimer une fonction \(f(x)\) sous la forme d’un polynôme, nous étudierons un cas particulier des polynômes de Taylor, soit les polynômes de MacLaurin.
Les deux conditions suivantes permettent de construire le polynôme de MacLaurin pour une fonction \(f(x)\) quelconque. Nous savons qu’un polynôme de degré \(n\) s’écrit de la façon suivante:
\[\begin{align*} P_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \end{align*}\]Pour trouver les coefficients \(a_k\), nous devons obtenir les dérivées successives de \(P_n(x)\). Ainsi:
\[\begin{align} \begin{split} P_n(x) &= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n \\ P_n^{(1)}(x) &= 1a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+na_nx^{n-1} \\ P_n^{(2)}(x) &= 2\cdot 1a_2+3\cdot 2a_3x+...+(n-1)(n-2)a_{n-1}x^{n-3}+n(n-1)a_nx^{n-2} \\ P_n^{(3)}(x) &= 3\cdot 2\cdot 1a_3+...+(n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}x^{n-4}+n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3} \end{split} \end{align}\]et ainsi de suite.
Par définition, nous savons que \(f(0)=P_n(0)\). Ainsi:
\[\begin{align} \begin{split} f(0)&=P_n(0) \\ f(0) &= a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+...+a_{n-1}(0)^{n-1}+a_n(0)^n \\ f(0)&=a_0 \end{split} \end{align}\]De même, nous savons que \(f^{(1)}(0)=P_n^{(1)}(0)\). Ainsi:
\[\begin{align} \begin{split} f^{(1)}(0)&=P_n^{(1)}(0)\\ f^{(1)}(0)&=1a_1+2a_2(0)+3a_3(0)^2+...+(n-1)a_{n-1}(0)^{n-2}+na_n(0)^{n-1} \\ f^{(1)}(0)&=1a_1 \\ \dfrac{f^{(1)}(0)}{1}&=a_1 \end{split} \end{align}\]De la même façon, nous savons que \(f^{(2)}(0)=P_n^{(2)}(0)\). Ainsi:
\[\begin{align} \begin{split} f^{(2)}(0)&=P^{(2)}_n(0)\\ f^{(2)}(0)&=2\cdot 1a_2+3\cdot 2a_3(0)+\ldots+(n-1)(n-2)a_{n-1}(0)^{n-3}+n(n-1)a_n(0)^{n-2} \\ f^{(2)}(0)&=2\cdot 1a_2 \\ \dfrac{f^{(2)}(0)}{2\cdot 1}&=a_2 \end{split} \end{align}\]D’une manière générale, nous trouvons:
\[\begin{align} \begin{split} a_k &= \dfrac{1}{k\cdot (k-1)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}f^{(k)}(0) \\ &= \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} \end{split} \end{align}\]Nous obtenons donc une équation pour déterminer le polynôme de MacLaurin d’une fonction.
1.1.2 Les polynômes de Taylor
Les polynômes de Maclaurin utilisent l’évaluation des dérivées successives de la fonction \(f(x)\) en \(x=0\). Il est par contre possible de généraliser ces polynômes en évaluant les dérivées successives de la fonction \(f(x)\) en \(x=a\), avec \(a\in \text{dom} f\). C’est ce que nous appelons les polynômes de Taylor.
1.1.3 Le reste de Taylor-Lagrange
Les polynômes de Taylor sont des approximations d’une fonction, ce qui signifie qu’une erreur est commise. Le théorème suivant nous permet de quantifier l’erreur commise, c’est-à-dire \(f(x)-P_n(x)\).
Comme la valeur \(\xi(x)\) est rarement connue, nous utiliserons plutôt une borne sur l’erreur:
\[\begin{align*} |E_n(x)|=|f(x)-P_n(x)|&=\left\vert\dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right\vert\\ |f(x)-P_n(x)| &\leq \left\vert\dfrac{M}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\right\vert, \end{align*}\]où \(M=\text{max}_{x\in I}\left\vert f^{(n+1)}(x) \right\vert\).
Exemple 1.6 Répondez aux questions suivantes:
- Approximez \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) par un polynôme de Taylor de degré 2 en \(a=8\).
- Estimez l’erreur faite lorsque \(7\leq x \leq 9\).