1.3 Applications
Exemple 1.24 À partir de la deuxième loi de Newton, nous pouvons montrer que l’angle \(\theta\) que fait un pendule par rapport à la verticale en fonction du temps, suit l’équation différentielle \(\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin(\theta)=0\) où \(g\) est la constante gravitationnelle et \(l\) la longueur du pendule. Malheureusement, il n’existe pas de solutions exactes pour cette équation différentielle. Par contre, il existe une méthode de résolution pour les équations différentielle de la forme \(\dfrac{d^2y}{dt^2}+ky=0\). Écrivez l’équation du pendule sous la forme résoluble.
Exemple 1.25 Soit un disque uniformément chargé de rayon \(R\). Le potentiel électrique ressenti au point \(P\) situé à une distance \(d\) sur une droite perpendiculaire au disque et passant par son centre est donné par \(V=2\pi k_e \sigma (\sqrt{d^2+R^2}-d)\). La constante \(k_e\) représente la perméabilité du vide et la constante \(\sigma\) la charge surfacique. Montrez que si \(d\) est très grand par rapport à \(R\) alors le potentiel électrique est \(V \approx \dfrac{\pi k_e \sigma R^2}{d}\).
Exemple 1.26 Soit deux charges équivalentes \(Q\) et \(-Q\) se trouvant à une distance \(r\)
l’une de l’autre. Le champ électrique \(E\) ressenti au point \(P\), qui est à une distance \(R\) de la charge \(Q\) et de \(R+r\) de la charge \(-Q\), est donné par \(E=\dfrac{Q}{R^2}-\dfrac{Q}{(R+r)^2}\). Montrez que lorsque \(R\) est grand, le champ électrique est approximativement proportionnel à \(\frac{1}{R^3}\).
Exemple 1.27 Soit un corps de masse \(m\) situé à une distance \(h\) de la surface de la Terre. La force gravitationnelle \(F\) agissant sur ce corps est donnée par \(F=\dfrac{mgR^2}{(R+h)^2}\) où \(g\) est l’accélération gravitationnelle et \(R\) le rayon de la terre. Montrez que lorsque \(h\) est petit par rapport à \(R\), la formule précédente devient \(F\approx mg\).
Exemple 1.28 Les équations de Bessel sont données par \(x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0\) où \(n\in\mathbb{N}\). Utilisez les séries de puissances pour trouver la solution de l’équation différentielle précédente lorsque \(n=0\).
Exemple 1.29 Soit \(f(x)=x\cos(2x)\). Trouvez \(f^{(99)}(0)\) et \(f^{(100)}(0)\).
Exemple 1.30 Soit \(f(x)=x^2e^{-x}\). Trouvez \(f^{(100)}(0)\).
Exemple 1.31 Soit \(g(x)=x\ln(1+(2x)^2)\). Trouvez \(g^{(51)}(0)\).