6.3 Les points critiques et leur nature
Théorème 6.1 Soit une fonction \(z=f(x,y)\) différentiable autour du point \((x_0,y_0)\). Si le point \((x_0,y_0)\) est un maximum ou minimum local de \(f\), alors: \[ \nabla f(x_0,y_0)=\overrightarrow{0} \]
Preuve. Nous savons que si une fonction d’une seule variable possède un minimum ou un maximum en \(x_0\), alors la dérivée évaluée en ce point est nulle.
Maintenant, supposons que \((x_0,y_0)\) est un point de maximum (la démonstration pour le cas d’un minimum est similaire). Si nous fixons \(x=x_0\), nous avons une fonction d’une seule variable \(g(y)=f(x_0,y)\). Cette fonction possède un maximum lorsque \(y=y_0\). Nous avons donc que \(g'(y_0)=0\). Mais \(g'(y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\).
D’une manière similaire, nous avons que \(f_x(x_0,y_0)=0\). D’où \(\nabla f(x_0,y_0)=\overrightarrow{0}\).
Remarque. Il est important de remarquer que le théorème 6.1 n’est pas un si et seulement si. C’est-à-dire que si \((x_0,y_0)\) est un maximum (ou un minimum), alors le gradient en ce point est nul.
L’inverse n’est pas nécessairement vrai, c’est-à-dire que si le gradient en un point est nul, il est possible que le point ne soit ni un maximum, ni un minimum.Pour spécifier la nature d’un point critique, nous aurons besoin d’un test supplémentaire.
Théorème 6.2 Soit une fonction \(z=f(x,y)\) possédant un point critique en \((x_0,y_0)\). Soit le scalaire: \[ D=f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0)-\left(f_{xy}(x_0,y_0) \right)^2 \] Nous pouvons rencontrer les quatres situations suivantes:
- Si \(D>0\) et \(f_{xx}(x_0,y_0)>0\) alors \((x_0,y_0)\) est un point de maximum
- Si \(D>0\) et \(f_{xx}(x_0,y_0)<0\) alors \((x_0,y_0)\) est un point de minimum
- Si \(D<0\) alors \((x_0,y_0)\) est un point de selle
- Si \(D=0\) alors nous ne pouvons rien conclure
Preuve. Pour simplifier la résolution, nous allons poser \(A=f_{xx}(x_0,y_0)\), \(B=f_{xy}(x_0,y_0)\) et \(C=f_{yy}(x_0,y_0)\). Nous allons utiliser l’approximation quadratique trouvée à l’équation (6.1), pour trouver une expression pour \(f(x,y)-f(x_0,y_0)\) si \((x,y)\) est près de \((x_0,y_0)\).
Par l’équation (6.1) et puisque \(f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0\), car \((x_0,y_0)\) est un point critique, nous avons: \[ f(x,y)-f(x_0,y_0)=\dfrac{A}{2}(x-x_0)^2+B(x-x_0)(y-y_0)+\dfrac{C}{2}(y-y_0)^2 \]
Ainsi, le signe de \(f(x,y)-f(x_0,y_0)\) sera le même que celui du membre de droite de l’expression précédente. Nous allons diviser le membre de droite par \(\dfrac{1}{2}(y-y_0)^2\). Cette division ne changera pas le signe. Par la suite posons \(w=\dfrac{x-x_0}{y-y_0}\).
Nous obtenons une nouvelle expression, que nous noterons \(E\): \[ E = Aw^2+2Bw+C \] L’expression \(E\) est un polynôme de degré 2 par rapport à \(w\). Étudions maintenant le signe de \(E\).
Nous avons que \(E=0\) si: \[ \dfrac{-2B\pm\sqrt{4B^2-4AC}}{2A}=\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-AC}}{A} \]
Si \(B^2-AC<0\) ou \(D=AC-B^2>0\) alors \(E\) ne possède pas de zéros. Ceci implique que \(f(x,y)-f(x_0,y_0)\) ne change pas de signe. Ainsi \(f(x,y)\) est toujours plus grand ou plus petit que \(f(x_0,y_0)\), pour tout \((x,y)\) près de \((x_0,y_0)\). C’est la définition d’un maximum ou d’un minimum.
Pour déterminer si nous sommes en présence d’un maximum ou d’un minimum, nous allons étudier le signe de \(A\). Si \(A<0\), nous avons une concavité vers le bas, donc un maximum. Si \(A>0\), nous avons une concavité vers le haut, donc un minimum.
Si \(B^2-AC>0\) ou \(D=AC-B^2<0\), nous avons deux racines et donc \(f(x,y)-f(x_0,y_0)\) change de signe. C’est ce que nous appelons un point de selle.Nous pouvons voir un point de selle en observant la figure 6.1. Le point situé à l’origine est un point de selle. Dans une direction, la concavité de la fonction est vers le haut et elle est vers le bas dans l’autre direction.
Figure 6.1: Hyperboloïde : \(z=(x^2-y^2)/2\)
Figure 6.2: Graphique de \(f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1\)