Chapitre 16 Les mesures de position

Les mesures de position permettent de situer une donnée par rapport aux autres. Les différentes mesures de position sont la cote Z, les quantiles et les rangs.

Tout comme les mesures de dispersion, celles-ci ne sont définies que pour une variable quantitative.

16.1 La cote z

Cette mesure de position se base sur la moyenne et l’écart-type.

La cote Z d’une donnée x est calculée comme suit :

\[\begin{equation} Z = \dfrac{x-\text{moyenne}}{\text{ecart-type}} \end{equation}\]

Important : La cote z ne possède pas d’unités.

Une cote Z peut être positive, négative ou nulle.

Cote Z	Interprétation
Z>0	donnée supérieure à la moyenne
Z<0	donnée inférieure à la moyenne
Z=0	donnée égale à la moyenne

Il n’existe pas de fonctions en R permettant de calculer directement la cote Z. Par contre, nous pouvons utiliser en conjonction les fonctions sd et mean pour la calculer.

Par exemple, si nous voulons calculer la cote Z d’un diamant de 3 carats, nous avons:

(3-mean(diamonds$carat))/sd(diamonds$carat)
#> [1] 4.65

16.2 Les quantiles

Un quantile est une donnée qui correspond à un certain pourcentage cumulé.

Parmi les quantiles, on distingue les quartiles, les quintiles, les déciles et les centiles.

• Les quartiles Q₁, Q₂ et Q₃, séparent les données en quatre parties égales. Environ 25% des données sont inférieures ou égales à Q₁. Environ 50% des données sont inférieures ou égales à Q₂. Environ 75% des données sont inférieures ou égales à Q₃.
• Les quintiles V₁, V₂, V₃ et V₄, séparent les données en cinq parties égales. Environ 20% des données sont inférieures ou égales à V₁. Environ 40% des données sont inférieures ou égales à V₂. Etc.
• Les déciles D₁, D₂, …, D₈ et D₉, séparent les données en dix parties égales. Environ 10% des données sont inférieures ou égales à D₁. Environ 20% des données sont inférieures ou égales à D₂. Etc.
• Les centiles C₁, C₂, …, C₉₈ et C₉₉, séparent les données en cent parties égales. Environ 1% des données sont inférieures ou égales à C₁. Environ 2% des données sont inférieures ou égales à C₂. Etc.

Il est utile de noter que certains quantiles se recoupent.

La fonction quantile permet de calculer n’importe quel quantile d’une variable en langage R. Il suffit d’indiquer la variable étudiée ainsi que le pourcentage du quantile voulu.

Par exemple, si nous voulons calculer D₁ pour la variable carat, nous allons utiliser la fonction quantile avec une probabilité de 0,1.

quantile(diamonds$carat, 0.1)
#>  10% 
#> 0.31

Ceci implique que 10% des diamants ont une valeur en carat inférieure ou égale à 0.31 carat.

Nous pouvons calculer le troisième quartile Q₃ de la variable price en utilisant la fonction quantile avec une probabilité de 0,75.

quantile(diamonds$price, 0.75)
#>  75% 
#> 5324

Ceci implique que 75% des diamants ont un prix en dollars inférieur ou égal à 5324.25 $.

16.3 La commande summary

La commande summary produit un sommaire contenant six mesures importantes:

1. Min : le minimum de la variable
2. 1st Qu.: Le premier quartile, Q₁, de la variable
3. Median : La médiane de la variable
4. Mean : La moyenne de la variable
5. 3rd Qu. : Le troisième quartile, Q₃, de la variable
6. Max : Le maximum de la variable

Nous pouvons donc produire le sommaire de la variable price de la base de données diamonds de la façon suivante:

summary(diamonds$price)
#>    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#>     326     950    2401    3933    5324   18823

16.4 Le rang centile

Un rang centile représente le pourcentage cumulé, exprimé en nombre entier, qui correspond à une certaine donnée. Nous déterminerons les rangs centiles pour les variables continues seulement.

Les rangs centiles sont donc exactement l’inverse des centiles.

Il n’existe pas de fonctions dans R permettant de trouver directement le rang centile, mais il est facile d’utiliser la fonction mean pour le trouver.

Par exemple, si nous voulons trouver le rang centile d’un diamant qui coûte 500$, il suffit d’utiliser la commande suivante. La commande calcule la moyenne de toutes les valeurs en dollars des diamants coûtant 500$ ou moins.

mean(diamonds$price<=500)
#> [1] 0.0324

Ceci signifie que pour un diamant de 500$, il y a 3.242 % des diamants qui ont une valeur égale ou inférieure.