La falaise de la mort

.title[
# La falaise de la mort
]
.subtitle[
## ou les mathématiques en alpinisme
]
.author[
### <a href="https://madesautels.rbind.io">Marc-André Désautels</a>
]
.institute[
### Cégep Saint-Jean-sur-Richelieu
]
.date[
### 10 décembre 2020 <br><br> Présentation disponible à <a href="https://desautm.github.io/MathAlpinisme" class="uri">https://desautm.github.io/MathAlpinisme</a> <br> Code disponible à <a href="https://github.com/desautm/MathAlpinisme" class="uri">https://github.com/desautm/MathAlpinisme</a>
]

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## *AVERTISSEMENT*

### *Pour être en mesure d'apprécier à sa juste valeur cette présentation, vous devez connaître sur le bout de vos doigts les ~~**meilleurs**~~ **pires** films sur l'escalade jamais produits.*

- [Cliffhanger (La falaise de la mort)](https://www.imdb.com/title/tt0106582/?ref_=fn_al_tt_1)
- [Vertical limit (Limite extrême)](https://www.imdb.com/title/tt0190865/?ref_=fn_al_tt_1)
- [Take it to the limit](https://www.imdb.com/title/tt0251422/?ref_=fn_al_tt_2)

### *Nous préférions vous en avertir...*

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background-image:url(https://2.bp.blogspot.com/-bh0Lr_CmRO8/V_cKk6gXHwI/AAAAAAAAUJI/mgiVwUiwRggPxsRql0XitpIjLYZofD_SwCEw/s1600/cliffhanger_poster.jpg)
background-size: contain

???

AN AVALANCHE OF THRILLS.

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background-image:url(https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/S/pv-target-images/0992b0fd91fe5173b0be6464690855c9606f84802f465c3d9a43c9baf3395a6f._RI_V_TTW_.jpg)
background-size: contain

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background-image:url(https://www.mntnfilm.com/img/cache/1251-principal-take-it-to-the-limit-2000-42108-235.jpg)

???

YOU CAN'T REACH THE TOP IF YOU'RE AFRAID TO FALL.

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class: inverse, center, middle

## Cette présentation s'adresse tout de même aux débutants et aux experts!

![](https://media.giphy.com/media/3o7TKoLSUWybe97uWA/giphy.gif)

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## Quelque notions de base de l'alpinisme

- L'assurage est une technique de réduction des conséquences de la chute d'une personne.

- Cela s'effectue par le contrôle de la corde de progression, de manière à ce que la personne engagée soit retenue si elle venait à chuter.

- Cette tâche est habituellement assignée à un assureur.

- Pour assurer un grimpeur, l'assureur utilise généralement la friction de la corde sur un objet qui va lui permettre de coulisser mais qui pourra être bloqué manuellement, voire automatiquement dans certains cas, lors de la chute.

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class: inverse, middle, center

## Bien sûr, s'assurer c'est pour les « débutants »!

## 😱

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background-image:url("https://www.climbing.com/.image/t_share/MTU5MjE0OTg3OTU1NDE0MDg2/free-solo-8.jpg")
background-size: contain

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class: middle, center

<img src="index_files/figure-html/assureur-grimpeur-avant-1.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
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class: middle, center

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class: middle, center

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## *Taking a whipper*

- Un *whipper* est une chute extrêmement dure lorsque la corde soutenant le grimpeur est soumise à un poids important.

- Le terme *whipper* provient du mouvement de balancier que le grimpeur qui chute peut avoir si l'assureur effectue mal son travail.

- Même s'il n'y a pas de mouvement de balancier, le terme *whipper* est utilisé pour des chutes dures.

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class: center, middle

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class: center, middle, inverse

# Le facteur de chute

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## Les hypothèses

- Soit une corde élastique de longueur `$L$` (avant l’étirement) entre un grimpeur et son assureur.

- Si la corde n'est pas élastique, le facteur de chute ne s'applique pas.

- Nous nous intéressons seulement à la chute du grimpeur et nous omettons la possibilité qu'il se heurte à des roches, etc.

- Nous omettons les forces de frottement que subit la corde en passant dans les mousquetons, etc.

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## La loi de Hooke

- La force qu’exerce la corde sur le grimpeur dépend de la longueur avec laquelle celle-ci s’est
étirée par rapport à sa longueur initiale.

- Supposons que la longueur de la corde à un instant `$t$` est donnée par `$L_e$`, où `$L_e > L$`.

- Selon la loi de Hooke, la force `$F_c$` exercée par la corde est proportionnelle à l’étirement sur la longueur initiale de la corde, c’est-à-dire :
$$
F_c = k\left(\frac{L_e-L}{L}\right)
$$

---

background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fc/Hookes-law-springs.png)
background-size: contain

???

Image credit: [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hookes-law-springs.png)

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class: middle, inverse

## *Nous voulons démontrer quelque chose, qui de prime abord, semble contre-intuitif.*

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class: middle, inverse

## *La force maximale ressentie par le grimpeur ne dépend pas de la hauteur de la chute mais bien du rapport entre la distance de la chute et la longueur totale de la  corde. Ce rapport, noté `$\dfrac{D_T}{L}$`, est appelé le facteur de chute.*

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class: inverse, center, middle

# La modélisation du problème

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---

## La seconde loi de Newton

Lorsque le grimpeur tombe en chute libre, jusqu'à une distance `$D_C$`, la seule force sur le grimpeur est la force de gravité. Par la seconde loi de Newton, la position du grimpeur est donc donnée par l'équation différentielle:

`$$m\dfrac{d^2y}{dt^2} = mg$$`

où `$m$` est la masse du grimpeur et `$g$` la constante gravitationnelle avec `$g\approx 9,81 \ m/s^2$`.

---

## Réécriture de la seconde loi de Newton

Nous allons réécrire la seconde loi de Newton pour l'utiliser dans notre résolution.

$$
`\begin{aligned}
m\dfrac{d^2y}{dt^2} &= m \dfrac{d}{dt}\underbrace{\left[\dfrac{dy}{dt}\right]}_{=v} \\
&= m\dfrac{dv}{dt} \\
&= m\dfrac{dv}{dy}\underbrace{\dfrac{dy}{dt}}_{=v} \\
&= mv \dfrac{dv}{dy}
\end{aligned}`
$$

---
name: chute-etapes-1

---
name: chute-etapes-2

---
name: chute-etapes-3

---
template: chute-etapes-2

---

## La chute avant l'étirement de la corde

- L'énergie potentielle du grimpeur est `$E_p=mgh$` où `$h$` est la hauteur, dans ce cas-ci `$D_C$`.

- Lorsque la corde commence à s'étirer l'énergie potentielle est transformée en énergie cinétique `$E_c=\frac{1}{2}mv^2$`.

- Les deux énergies sont égales au début de l'étirement `$E_p=E_c$`.

- Nous avons `$mgD_C=\frac{1}{2}mv^2$` ce qui implique `$v^2=2gD_C$` où `$v=\sqrt{2gD_C}$`

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name: chute-etapes-2-bis

---
name: chute-etapes-3-bis

---

## Écriture de l'équation différentielle pour la chute retenue par la corde

À partir du moment où la corde commence à se tendre, une seconde force entre en jeu, la force de Hooke. Puisque le mouvement se fait vers le bas, la force de Hooke va être dans la direction inverse, pour ralentir le mouvement du grimpeur. L'équation différentielle sera donc 
`$$mv\dfrac{dv}{dy} = mg-\dfrac{k}{L}(y-D_C)$$`
---

---

---

## La chute après l'étirement de la corde

$$
`\begin{aligned}
mv\dfrac{dv}{dy} &= mg-\dfrac{k}{L}(y-D_C) \\
\int vdv &= \int\left(g-\dfrac{k}{mL}(y-D_C)\right)dy \\
\dfrac{v^2}{2} &= gy-\dfrac{k}{2mL}(y-D_C)^2+C_1 \\
v^2 &= 2gy-\dfrac{k}{mL}(y-D_C)^2+C_2
\end{aligned}`
$$
--

La condition initiale de ce problème correspond à la vitesse du grimpeur après sa chute libre, c'est-à-dire lorsqu'il se trouve à `$D_C$`, `$v(D_C)=\sqrt{2gD_C}$`.

Nous obtenons que `$C_2=0$`.

Le carré de la vitesse du grimpeur lorsque la corde s'étire est donc `$v^2 = 2gy-\dfrac{k}{mL}(y-D_C)^2$`.

---

---

## La fin de la chute

$$
`\begin{aligned}
v^2 &= 2gy-\dfrac{k}{mL}(y-D_C)^2 \\
v^2(D_T) &= 2gD_T-\dfrac{k}{mL}(D_T-D_C)^2 \\
0 &= 2gD_T-\dfrac{k}{mL}(D_T-D_C)^2 \\
(D_T-D_C)^2 &= \dfrac{2gmLD_T}{k} \\
D_T-D_C &= \sqrt{\dfrac{2gmLD_T}{k}}
\end{aligned}`
$$

---

## Retour sur la loi de Hooke

La force ressentie par le grimpeur tout en bas de sa chute est donnée par:

$$
`\begin{aligned}
F_c &= k\left(\dfrac{L_e-L}{L}\right) \\
&= k\left(\dfrac{D_T-D_C}{L}\right) \ \text{où } D_T-D_C = \sqrt{\dfrac{2gmLD_T}{k}}\\
&= \dfrac{k}{L}\sqrt{\dfrac{2gmLD_T}{k}} \\
&= \sqrt{\dfrac{2gmkD_T}{L}} \\
&= \sqrt{2gmk\left(\dfrac{D_T}{L}\right)}
\end{aligned}`
$$

### *Le carré de la force est proportionnel au facteur de chute, `$\dfrac{D_T}{L}$`!*

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class:inverse, center, middle

# Les divers facteurs de chute

## Maximum de 2 et minimum de 0

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class:middle, center, inverse

# Facteur de chute de `$2$`

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## Facteur de chute de `$\frac{1}{2}$`

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## Facteur de chute de `$1$`

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## Une corde élastique ou non?

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class: inverse, center, middle

# L'escalade intérieure

## Facteur de chute de 0

#### *quand Marc-André grimpe...*

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class:middle, center, inverse

# Le design et le test des cordes d'escalade

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## L'union internationale des associations d'alpinisme (UIAA)

[L'UIAA](https://www.theuiaa.org/) est une organisation qui représente plusieurs millions d'alpinistes et de grimpeurs.

C'est elle qui s'occupe d'instaurer les spécifications pour, entre autres, les cordes d'escalade. Un des tests importants est le test de chute.

---

## Le test de chute

.pull-left[
<img src="index_files/figure-html/test-chute-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

- L'UIAA utilise une corde de longueur `$2,8$` m à laquelle elle attache une masse de `$80$` kg (représentant un grimpeur **moyen**).

- Elle fait tomber la masse d'une hauteur totale de `$4,8$` m.

- Ceci lui permet d'obtenir un facteur de chute d'environ 1.7142857.
]

---

## Pourquoi 80 kg?

---

## Pourquoi 80 kg?

- La force maximale ressentie ne doit pas dépasser `$12$` kN.

- Le corps humain ne peut pas être soumis à un impact supérieur à `$15$` fois l'accélération gravitationnelle, sans en ressentir de graves séquelles.

- Par la seconde loi de Newton:

$$
`\begin{aligned}
F &= ma \\
12\ 000 &= m\cdot (15g) \\
m &= \frac{12\ 000}{15g} \\
&= 80\ kg \quad (\text{en prenant } g=10 \ m\cdot s^{-2})
\end{aligned}`
$$

---
class:middle, center, inverse

# Les coinceurs mécaniques

---

## Définition

.pull-left[
Un coinceur mécanique, ou coinceur à came, est un équipement de protection pour
l’escalade ou l’alpinisme.

Il consiste en deux, trois, ou quatre cames montées sur un
axe commun ou deux axes adjacents, de manière à ce que tirer sur l’axe force les cames
à s’écarter.

Il utilise le principe de l’arc-boutement.
]

---

background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Klim_friends.jpg)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Klim_friends.jpg

---

background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Creeks_Giving_-_Climbing_in_Indian_Creek%2C_Utah_-_29.jpg)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Creeks_Giving_-_Climbing_in_Indian_Creek,_Utah_-_29.jpg

---

background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f7/Camalot_number_6.JPG)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Camalot_number_6.JPG

---

## Principe de base

Le principe de base du coinceur mécanique est le suivant. La force qui tire vers le bas permet
de coincer encore plus fort le coinceur dans la fissure. Le frottement entre le coinceur et la
paroi soutient le grimpeur.

.pull-left[
<img src="index_files/figure-html/coinceur-mecanique-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
Pour que le système soit en équilibre, il faut que la somme de toutes ces forces soit nulle.
$$
`\begin{aligned}
2F_f &= F \\
F_n &= N
\end{aligned}`
$$
]

---
class: middle

.pull-left[
<img src="index_files/figure-html/coinceur-mathematisation-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
La force `$F$` peut être décomposée en une partie normale `$F_n$` et une partie tangentielle (le frottement) à la paroi `$F_f$`, à l'endroit où le coinceur touche la paroi.
$$
`\begin{aligned}
\tan(\beta) &= \dfrac{F_n}{F_f} \\
F_f &= \frac{F_n}{\tan(\beta)}
\end{aligned}`
$$

- Le coinceur reste en place en raison du coefficient de friction de la paroi, noté `$\mu$`.

- Si `$F_f<\mu F_n$` alors le coinceur ne glisse pas.

- Ceci implique que `$\frac{F_n}{\tan(\beta)}<\mu F_n$` et donc que `$\frac{1}{\tan(\beta)}<\mu$`.

]

---

## Le coefficient de friction

Le coinceur reste en place si `$\frac{1}{\tan(\beta)}<\mu$`.

Autrement dit, il faut que `$\tan(\beta)>\frac{1}{\mu}$`.

Puisque `$\tan(\beta)$` doit toujours être strictement supérieur à `$\frac{1}{\mu}$`, il semble indiqué d'obliger l'angle `$\beta$` à rester constant, c'est-à-dire `$\tan(\beta)=K$`.

### *On veut trouver la forme mathématique telle que l'angle `$\beta$` reste constant!*

---

---

## L'équation différentielle à résoudre

- `$\beta = \alpha-\theta$`

- `$\tan(\theta) = \frac{y}{x}$`

- `$\tan(\alpha) = \frac{dy}{dx}$`

- `$\tan(A-B) = \frac{\tan(A)-\tan(B)}{1+\tan(A)\tan(B)}$`

]

$$
`\begin{aligned}
\tan(\beta) &= \tan(\alpha-\theta) \\
K &= \dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\theta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\theta)} \\
&= \dfrac{\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}\cdot \frac{dy}{dx}}
\end{aligned}`
$$

]

---

Pour résoudre l'équation différentielle à variables séparables précédente, on doit poser le changement de variable `$u=\frac{y}{x}$`. 
$$
`\begin{aligned}
y &= ux \\
\frac{dy}{dx} &= u + x\frac{du}{dx}
\end{aligned}`
$$

Après quelques minutes...
$$
\text{Arctan}\left(\frac{y}{x}\right)-\dfrac{K}{2}\ln\left|1+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right| = K\ln|x|+C_1
$$

Pour rendre l'équation plus compréhensible...
$$
`\begin{aligned}
x &= r\cos(\theta) \\
y &= r\sin(\theta)
\end{aligned}`
$$

Enfin!
$$
r=Ce^{\tfrac{\theta}{\tan(\beta)}}
$$

---

## Une spirale logarithmique

---

## La spirale logarithmique

Plutôt que d'utiliser le paramètre `$\beta$`, les manufacturiers de coinceurs mécaniques utilisent l'angle complémentaire `$\gamma$`.

$$
`\begin{aligned}
\tan(\beta) &= \tan\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right) = \dfrac{1}{\tan(\gamma)}
\end{aligned}`
$$

La spirale logarithmique est donc donnée par:
$$
`\begin{aligned}
r &= Ce^{\tfrac{\theta}{\tan(\beta)}} = Ce^{\tan(\gamma)\cdot\theta}
\end{aligned}`
$$

Le paramètre `$\gamma$` contrôle « l'ouverture » de la spirale logarithmique et permet de modifier la gamme de largeur du coinceur mécanique.

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name: ouverture-coinceur-mecanique

## L'ouverture du coinceur mécanique

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class:middle

---
## Une « ouverture » aussi grande que possible?

Plus l'angle `$\gamma$` est grand, plus la gamme de largeurs de failles dans lesquelles nous pouvons installer le coinceur est grande.

#### Mais y-a-t'il une limite?

---

---

## Une ouverture aussi grande que possible?

Plus l'angle `$\gamma$` est grand, plus la gamme de largeurs de failles dans lesquelles nous pouvons installer le coinceur est grande.

#### Mais y-a-t'il une limite? OUI!

Pour que le coinceur reste en place, il faut que l'inégalité suivante soit respectée.
$$
`\begin{aligned}
\dfrac{1}{\tan(\beta)} &< \mu \\
\tan(\gamma) &< \mu
\end{aligned}`
$$

En pratique, les manufacturiers utilisent des coinceurs à came avec un angle `$\gamma$` d'environ `$14^{\circ}$`.

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name: coinceur-mecanique-quatorze-degres

## L'ouverture du coinceur mécanique

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class:middle, center, inverse

# L'équation du cabestan

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## La moulinette

- La « moulinette » est une technique principalement utilisée en escalade.

- Un des équipiers a « ouvert la voie » puis est redescendu.

- On peut donc utiliser la corde en place pour assurer un coéquipier.

- Pas besoin de placer des points d'assurage intermédiaires (dégaines).

- La descente se réalise facilement sous la maîtrise de la personne chargée de tenir la corde (l'assureur).

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background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bb/Red_River_Gorge_-_Pebble_Beach_-_Big_Money_2.jpg)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Red_River_Gorge_-_Pebble_Beach_-_Big_Money_2.jpg

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## Définition

L'équation du cabestan ou équation de la friction, connue aussi sous le nom de la formule d'Eytelwein ([Johann Albert Eytelwein](https://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Albert_Eytelwein)), met en relation la force de maintien et la force de tension si une corde flexible est enroulée autour d'un cylindre.

Ce cylindre peut être un bollard, un winch ou un cabestan.

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background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Recycle-barge.jpg)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Recycle-barge.jpg

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background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Winch.PNG)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Winch.PNG

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background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Visitors_holding_capstan_bars_turn_the_capstan.jpg)
background-size: contain

???

Image credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Visitors_holding_capstan_bars_turn_the_capstan.jpg

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## Définition

- La formule est `$T=Fe^{\mu \theta}$`. `$F$` est la force exercée, `$T$` la tension, `$\mu$` le coefficient de frottement et `$\theta$` l'angle total compris par les tours de corde, mesuré en radians (un tour complet correspond à `$\theta=2\pi$`).

- Les hypothèses suivantes doivent être vérifiées pour que la formule fonctionne:

- La corde est sur le point de glisser
    
--

- La corde n'est pas rigide
    
--

- La corde n'est pas élastique 😢

---

## L'effet du coefficient de friction

On peut étudier l'effet du coefficient de friction présent dans `$T=Fe^{\mu \theta}$`. Nous allons simplement afficher les valeurs de `$e^{\mu \theta}$`.

<table>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="6"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Coefficient de friction</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> Nombre de tours </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.1 </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.2 </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.3 </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.4 </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.5 </th>
   <th style="text-align:right;"> 0.6 </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 1 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.87 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.51 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.59 </td>
   <td style="text-align:right;"> 12.35 </td>
   <td style="text-align:right;"> 23.14 </td>
   <td style="text-align:right;"> 4.338000e+01 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 2 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.51 </td>
   <td style="text-align:right;"> 12.35 </td>
   <td style="text-align:right;"> 43.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 152.41 </td>
   <td style="text-align:right;"> 535.49 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.881500e+03 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 3 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.59 </td>
   <td style="text-align:right;"> 43.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 285.68 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1881.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 12391.65 </td>
   <td style="text-align:right;"> 8.161216e+04 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 4 </td>
   <td style="text-align:right;"> 12.35 </td>
   <td style="text-align:right;"> 152.41 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1881.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 23227.60 </td>
   <td style="text-align:right;"> 286751.31 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3.540026e+06 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 5 </td>
   <td style="text-align:right;"> 23.14 </td>
   <td style="text-align:right;"> 535.49 </td>
   <td style="text-align:right;"> 12391.65 </td>
   <td style="text-align:right;"> 286751.31 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6635624.00 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.535529e+08 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 43.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1881.50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 81612.16 </td>
   <td style="text-align:right;"> 3540026.38 </td>
   <td style="text-align:right;"> 153552935.40 </td>
   <td style="text-align:right;"> 6.660545e+09 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

## L'effet du coefficient de friction

En observant la table, on comprend la raison pourquoi on voit rarement une [écoute](https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89coute_%28cordage%29) (un cordage servant à régler l'angle d'une voile) entourée plus de trois tours autour d'un winch.

Le gain de force est extrême et contre-productif car il y a un risque de virage à cheval.

Un virage à cheval est une section de corde qui passe au-dessus d'une autre section de corde, souvent parallèle ou à un léger angle par rapport à l'autre section.

La formation d'un virage involontaire sur un treuil à voile peut le bloquer.

---

background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/81/Strangle-knot-ABOK-1239.jpg)
background-size: contain

???

Image Credit : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Strangle-knot-ABOK-1239.jpg

Le tour de conduite de ce noeud d'étranglement passe du haut à gauche au bas à droite

---
name: nimitz-versus-baby

## L'effet du coefficient de friction

### Pour rire un peu, de la part de [Wikipédia](https://en.wikipedia.org/wiki/Capstan_equation) (la traduction est de moi)

> Le facteur de `$1.5355294\times 10^{8}$` ( 5 tours autour d'un cabestan avec un coefficient de friction de 0,6) implique, qu'en théorie, un nouveau-né serait en mesure de retenir (sans bouger) le poids de deux porte-avions de la classe *Nimitz* (97 000 tonnes chacun, mais pour le bébé se serait seulement un peu plus de 1 kg).

???

For instance, the factor "153,552,935" (5 turns around a capstan with a coefficient of friction of 0.6) means, in theory, that a newborn baby would be capable of holding (not moving) the weight of two USS Nimitz supercarriers (97,000 tons each, but for the baby it would be only a little more than 1 kg).

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background-image:url(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/USS_Nimitz_%28CVN-68%29.jpg)
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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:USS_Nimitz_(CVN-68).jpg

L’USS Nimitz (CVN-68) est un porte-avions polyvalent américain à propulsion nucléaire. Il fait partie des 11 porte-avions géants de l'US Navy et est actuellement l'un des plus puissants navires de guerre au monde.

Le navire a été baptisé Nimitz, en hommage à l'amiral Chester Nimitz, qui commanda la flotte Pacifique lors de la Seconde Guerre mondiale. La devise du navire est « Teamwork, a Tradition »3 (soit en français : « Le travail d'équipe, une tradition »).

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L'auteur nous met tout de même en garde...

> Les câbles nécessaires pour supporter ce poids, ainsi que l'habileté du cabestan à subir la force de ces câbles, sont des considérations différentes.

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The large number of turns around the capstan combined with such a high friction coefficient mean that very little additional force is necessary to hold such heavy weight in place. The cables necessary to support this weight, as well as the capstan's ability to withstand the crushing force of those cables, are separate considerations.

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background-image:url(https://media.giphy.com/media/L0Z4qwdwv62cn4haFp/giphy.gif)
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## Une petite expérience

[Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations](https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/rope-friction-around-pole)

Une boule de 65 livres (29.478458 kg) suspendue avec `$4 \frac{1}{2}$` tours à gauche et `$2 \frac{1}{2}$` tours à droite.

.center[
![](https://static.projects.iq.harvard.edu/files/styles/os_files_medium/public/science-demonstrations/files/65lb.jpg?m=1432049361&itok=cX0AuqPR)
![](https://static.projects.iq.harvard.edu/files/styles/os_files_medium/public/science-demonstrations/files/65lb2.jpg?m=1432049361&itok=0-DaEokx)
]

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## Une petite expérience (bis)

[Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations](https://sciencedemonstrations.fas.harvard.edu/presentations/rope-friction-around-pole)

Un haltère de 100 livres (45.3514739 kg) suspendu avec `$4 \frac{1}{2}$` tours.

.center[
![](https://static.projects.iq.harvard.edu/files/styles/os_files_medium/public/science-demonstrations/files/100lb.jpg?m=1432049361&itok=oCuBvd-f)]

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class: inverse, center, middle

## Des questions?

![](https://media.giphy.com/media/rbsL67KdPgYVO/giphy.gif)