Comment gagner de l’argent sans se fatiguer…

# Comment gagner de l’argent sans se fatiguer…
## (…en se fatiguant un peu quand même…)
### <a href="https://madesautels.rbind.io">Marc-André Désautels</a>
### Octobre 2021 <br><br> Présentation disponible à <a href="https://desautm.github.io/CashWinFall" class="uri">https://desautm.github.io/CashWinFall</a> <br> Code disponible à <a href="https://github.com/desautm/CashWinFall" class="uri">https://github.com/desautm/CashWinFall</a>

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# Comment ça fonctionne la loterie?

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## Cash WinFall, le lundi 23 janvier 2012

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## Comment ça fonctionne la loterie?

- Nous nous intéressons aux loteries de type `$k/n$`.

- C'est-à-dire que `$k$` numéros sont tirés (sans remise) à partir d'un ensemble de `$n$` numéros (les `$n$` premiers entiers excluant le zéro).

- Les `$k$` numéros tirés sont ensuite placés en ordre croissant, ce qui implique que l'acheteur n'a pas à choisir ses numéros dans l'ordre.

- Le gros lot est gagné si les `$k$` numéros choisis par l'acheteur sont ceux pigés.

- D'autres lots peuvent être gagnés en ayant choisi `$l$` numéros parmi les `$k$` pigés, avec `$l<k$`.

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## Un peu d'histoire

- **CASH WinFall** est une loterie de l'état du Massachusets qui a remplacé la loterie **Mass Millions** le 9 septembre 2004.

- La première pige s'est déroulée le 13 septembre de la même année. La dernière pige a eue lieu le 26 janvier 2012.

- C'est une loterie du type 6/46.

- Le prix d'un billet était de 2$ US.

- Le gros lot débutait toujours à 500 000$ US.

- Pour gagner, les possibilités étaient:

- Les 6 numéros
    - 5 numéros sur 6
    - 4 numéros sur 6
    - 3 numéros sur 6
    - 2 numéros sur 6

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# Un peu de probabilités

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## Les probabilités

- La probabilité d'un certain événement `$A$`, notée `$P(A)$`, associe une valeur entre 0 et 1 que l'événement se réalise.

- `$P(A)=1$`.

- `$P(A)=0$`.

- Lorsque le nombre de résultats possibles de l'expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables, la probabilité de `$A$` est obtenue par : $$ P(A)=\dfrac{\text{nombre de cas où `$A$` se réalise}}{\text{nombre de cas possibles}} $$

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## Le lancer de deux dés à six faces

- On lance deux dés non biaisé à six faces.

- On calcule la somme des deux dés.

- Quelle est la probabilité d'obtenir 7?

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<img src="index_files/figure-html/tikz-two-dice-red-1.png" style="display: block; margin: auto;" />
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## Le lancer de deux dés à six faces

- On lance deux dés non biaisé à six faces.

- On calcule la somme des deux dés.

- Quelle est la probabilité d'obtenir 7?

`$$P(\text{obtenir une somme de 7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$`

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## Les combinaisons

- En mathématiques, une combinaison est une sélection d'objets choisis parmi une collection, de telle manière à ce que l'ordre de sélection n'a pas d'importance.

- Le nombre de combinaisons est donné par le coefficient binomial:

`$$\binom{n}{k}=C_k^n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$`

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## Une combinaison de 3 parmi 5

`$$\binom{5}{3}=C_3^5=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=10$$`

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## L'espérance mathématique

- En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire.

- `$E(X)$`.

- Nous nous intéressons au cas où la variable aléatoire prend un nombre fini de valeurs.

- Si la variable X prend les valeurs `$x_1$`, `$x_2$`, ..., `$x_n$` avec les probabilités `$p_1$`, `$p_2$`, ..., `$p_n$`, l'espérance de X est définie comme: `$$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_np_n$$`

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## Une fausse loterie

- Supposons que le billet coûte 2$.

- Vous avez une chance sur 200 de gagner 300$.

- Si vous jouez 1 000 fois, vous allez probablement gagner 5 fois, vous devriez gagner 1 500$, soit 1,50$ par billet.

- **Mais le billet coûte 2$!**

| Résultat          | Probabilité                       | Prix           |
|-------------------|:---------------------------------:|:--------------:|
| Le gros lot       | `$\frac{1}{200}$`                   | 300$           |
| Rien              | `$\frac{199}{200}$`                 | 0$             |

$$ \dfrac{300\$\times 1}{200}+\dfrac{0\$\times 199}{200} = 1,50\$ $$

- Puisque le billet coûte 2$, on perd donc 0,50$ à chaque achat de billet.

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## La loi binomiale

- La loi binomiale modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.

- Correspond à une pige **avec** remise.

- Soit `$n$` le nombre d'expériences et `$p$` la probabilité de succès, on la note `$X\sim B(n,p)$`.

- `$P(X=x)=\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$`

- `$E(X) = np$`

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# Cash WinFall

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## Cash WinFall : les probabilités

- Les 6 numéros: `$\dfrac{\binom{6}{6}}{\binom{46}{6}}= \dfrac{1}{9\ 366\ 819}$`

- 5 numéros sur 6: `$\dfrac{\binom{6}{5}\binom{40}{1}}{\binom{46}{6}}= \dfrac{240}{9\ 366\ 819} \approx \dfrac{1}{39\ 028,41}$`

- 4 numéros sur 6: `$\dfrac{\binom{6}{4}\binom{40}{2}}{\binom{46}{6}}= \dfrac{11\ 700}{9\ 366\ 819} \approx \dfrac{1}{800,58}$`

- 3 numéros sur 6: `$\dfrac{\binom{6}{3}\binom{40}{3}}{\binom{46}{6}}= \dfrac{197\ 600}{9\ 366\ 819} \approx \dfrac{1}{47,40}$`

- 2 numéros sur 6: `$\dfrac{\binom{6}{2}\binom{40}{4}}{\binom{46}{6}}= \dfrac{1\ 370\ 850}{9\ 366\ 819} \approx \dfrac{1}{6,83}$`

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## Cash WinFall

| Nombre de numéros | Probabilité                       | Prix           |
|-------------------|-----------------------------------|----------------|
| Les 6 numéros     | `$\frac{1}{9\ 366\ 819}$`           | Variable       |
| 5 numéros sur 6   | `$\frac{240}{9\ 366\ 819}$`         | 4 000$         |
| 4 numéros sur 6   | `$\frac{11\ 700}{9\ 366\ 819}$`     | 150$           |
| 3 numéros sur 6   | `$\frac{197\ 600}{9\ 366\ 819}$`    | 5$             |
| 2 numéros sur 6   | `$\frac{1\ 370\ 850}{9\ 366\ 819}$` | Billet gratuit |

$$
`\begin{align*}
& \dfrac{1\ 000\ 000\$}{9\ 366\ 819}+\dfrac{4\ 000\$ \times 240}{9\ 366\ 819}+\dfrac{150\$\times 11\ 700}{9\ 366\ 819}+\dfrac{5\$ \times 197\ 600}{9\ 366\ 819}+\\
& \qquad \qquad \qquad +\dfrac{2\$ \times 1\ 370\ 850}{9\ 366\ 819}\approx 0,7948\$
\end{align*}`
$$

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# Pourquoi parler de CashWinFall?

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## Le «Roll-Down»

- Le gros lot débutait à 500 000$.

- Lorsque le gros lot n'était pas gagné, celui-ci était ajouté au gros lot suivant.

- Le gros lot était par contre d'un maximum de 2 000 000$.

- Si le gros lot atteignait 2 000 000$ et que personne ne le gagnait, **une partie de l'argent du gros lot était redistribuée aux lots de moindre valeur**.

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## Le «Roll-Down» du 8 février 2010

| Nombre de numéros | Probabilité                       | Prix habituel  | Prix «roll-down» |
|-------------------|-----------------------------------|----------------|------------------|
| Les 6 numéros     | `$\frac{1}{9\ 366\ 819}$`           | Variable       | Pas gagné        |
| 5 numéros sur 6   | `$\frac{240}{9\ 366\ 819}$`         | 4 000$         | 22 096$          |
| 4 numéros sur 6   | `$\frac{11\ 700}{9\ 366\ 819}$`     | 150$           | 807,52$          |
| 3 numéros sur 6   | `$\frac{197\ 600}{9\ 366\ 819}$`    | 5$             | 26,85$           |
| 2 numéros sur 6   | `$\frac{1\ 370\ 850}{9\ 366\ 819}$` | Billet gratuit | Billet gratuit   |

$$
`\begin{align*}
\dfrac{22\ 096\$ \times 240}{9\ 366\ 819}+\dfrac{807,52\$\times 11\ 700}{9\ 366\ 819}+\dfrac{26,85\$ \times 197\ 600}{9\ 366\ 819} \approx 2,14\$
\end{align*}`
$$

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## Supposons que nous achetions 200 000 billets

| Nombre de numéros | Nombre de billets probable | Prix probable |
|-------------------|----------------------------|---------------|
| Les 6 numéros     |                            |               |
| 5 numéros sur 6   | 5                          | 110 480$      |
| 4 numéros sur 6   | 250                        | 201 880$      |
| 3 numéros sur 6   | 4 219                      | 113 280$      |
| 2 numéros sur 6   | 29 283                     |               |
| Total             |                            | 425 640$      |

Environ 29 283 billets avec 2 des 6 numéros gagnants, donc 29 283 billets gratuits pour la prochaine loterie, donc une économie de 58 566$!

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## Supposons que nous achetions 200 000 billets

- Investissement de 400 000$ (les billets coûtent 2$).

- Revenu de 425 640$ (6,41% de profit).

- 29 283 billets gratuits pour le prochain tirage (économie  de 58 566$).

- 200 000 billets pour un prix de 341 434$.

- Au prochain tirage, profit potentiel de 84 206$ ou 24,66% de l'investissement initial!

- Bien sûr, il y a le risque que le gros lot soit gagné...

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class:center, middle, inverse

# Qui a profité du «rolldown»?

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background-image: url(https://highline.huffingtonpost.com/articles/en/lotto-winners/media/images/lotto_twitter.jpg)
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???

Image credit: [Huffington Post](https://highline.huffingtonpost.com/articles/en/lotto-winners/)

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## Gerard Selbee

- En 1966, en travaillant pour *Kellog's*, il déchiffre le code de la compagnie *General Mills* qui indiquait l'usine, le quart de travail, la date et l'heure de la cuisson de leurs céréales.

- Avec son fils, il décide d'acheter des rouleaux de pièces de monnaie en espérant que la banque ne les avait pas ouverts. Son idée était que peut-être les clients de la banque avaient laissés des pièces rares et précieuses parmi les pièces normales.

- À l'âge de 64 ans, fraîchement retraité, il prend une brochure décrivant une nouvelle loterie...

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## Gerard Selbee

| 2 200$ | Argent investi |
|--------|----------------|
| 2 150$ | Argent gagné   |
| -50$   | Profit         |

Il comprend qu'il n'a pas investi suffisament d'argent pour gagner.
]

| 8 000$ | Argent investi |
|--------|----------------|
| 15 700$| Argent gagné   |
| +7 700$| Profit         |

]

- Les terminaux de lotterie ne pouvaient qu'imprimer 10 coupons à la fois, avec au maximum 10 billets par coupons. Pour investir 200 000$ à cette loterie, il fallait passer des heures et des heures devant la machine.

- GERARD SELBEE CHOISISSAIT SES BILLETS ALÉATOIREMENT ET AVEC REMISE!

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## RANDOM STRATEGIES INVESTMENTS, LLC

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## James Harvey

- En 2005, James Harvey terminait son baccalauréat et il avait besoin d'un projet pour son dernier semestre. En faisant ses recherches, il s'intéressa aux loteries et découvrit Cash WinFall.

- En février 2005, Harvey forme un groupe d'environ 50 personnes qu'il nomme *RANDOM STRATEGIES INVESTMENTS*.

- Durant les années qui suivent, la loterie devient un travail à temps plein pour Harvey.

- Le 16 août 2010, un «roll-down» arrive, en grande partie en raison de l'achat massif de 700 000!!! billets, tous remplis à la main par *RANDOM STRATEGIES INVESTMENTS*.

- Harvey estime que le groupe a fait un profit de 700 000$ cette journée-là.

- JAMES HARVEY CHOISISSAIT SES BILLETS NON-ALÉATOIREMENT, DONC SANS REMISE!

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## Deux questions...

- ### Question 1: Comment ont-ils fait pour ne pas se faire attraper? Comment se fait-il que l'état du Massachusets n'ait pas été au courant?

- ### Réponse: L'état *était* au courant!

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## Deux questions...

- ### Question 1: Comment ont-ils fait pour ne pas se faire attraper? Comment se fait-il que l'état du Massachusets n'ait pas été au courant?

- ### Réponse: L'état *était* au courant!

- ### Question 2: Devrait-on remplir les billets à la main ou laisser choisir aléatoirement l'ordinateur?

- ### Réponse: Le paradoxe des anniversaires et la loterie transylvanienne

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# Le paradoxe des anniversaires

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## Le paradoxe des anniversaires

- Quel est le nombre de personnes que nous devons réunir pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour?

- ### 23

- À partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.

- Il s'agit d'un paradoxe non pas dans le sens de contradiction logique, mais dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %.

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## Le paradoxe des anniversaires

- On calcule la probabilité que chaque personne ait un jour anniversaire *différent* de celui des autres.

- Nous faisons une hypothèse d'équiprobabilité des jours de naissance.

- La première personne a 365 choix, la seconde 364, la troisième 363 et ainsi de suite.

$$
`\begin{aligned}
\overline{p}(n)=\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\cdot\cdot\frac{365-n+1}{365}
\end{aligned}`
$$

- Or, l’évènement « un jour anniversaire différent par personne » est le complémentaire de « au moins deux identiques ». Par conséquent la probabilité recherchée est `$p(n)=1-\overline {p}(n)$`.

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## Le paradoxe des anniversaires

![](index_files/figure-html/paradoxe-anniversaires-plot1-1.svg)

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## Le paradoxe des anniversaires

![](index_files/figure-html/paradoxe-anniversaires-plot2-1.svg)

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## Le paradoxe des anniversaires

<table class="table table-striped table-hover table-condensed" style="font-size: 16px; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:right;"> n </th>
   <th style="text-align:right;"> Probabilités </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 5 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0271356 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 10 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1169482 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 15 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.2529013 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 20 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.4114384 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 23 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.5072972 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 25 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.5686997 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 30 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.7063162 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 40 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.8912318 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 50 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.9703736 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 60 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.9941227 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 80 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.9999143 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 100 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.9999997 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 200 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.0000000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 300 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.0000000 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:right;"> 365 </td>
   <td style="text-align:right;"> 1.0000000 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## La stratégie de Selbee

- Même stratégie que pour le paradoxe des anniversaires.

- Il y a `$n$` billets, pour chacun il y a `$\binom{46}{6}=$` 9 366 819 billets possibles.

- Le premier billet a 9 366 819 choix, le second 9 366 818, le troisième 9 366 817 et ainsi de suite.

$$
`\begin{aligned}
\overline{p}(n)=\frac{9\ 366\ 819}{9\ 366\ 819}\cdot\frac{9\ 366\ 818}{9\ 366\ 819}\cdot\frac{9\ 366\ 817}{9\ 366\ 819}\cdot\cdot\cdot\frac{9\ 366\ 819-n+1}{9\ 366\ 819}
\end{aligned}`
$$

- Or, l’évènement « un billet différent à chaque achat » est le complémentaire de « au moins deux billets identiques ». Par conséquent la probabilité recherchée est `$p(n)=1-\overline {p}(n)$`.

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## La stratégie de Selbee

![](index_files/figure-html/paradoxe-cashwinfall-plot1-1.svg)

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## La stratégie de Selbee

![](index_files/figure-html/paradoxe-cashwinfall-plot2-1.svg)

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# La loterie Transylvanienne

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## La loterie transylvanienne

- C'est une loterie du type 3/7; c'est-à-dire que trois nombres sont choisis aléatoirement (sans remise) entre 1 et 7 inclusivement.

- Le joueur gagne si deux (ou trois) des trois nombres sur un certain billet sont parmis ceux choisis aléatoirement.

- Le nombre de billets différents est de `$\binom{7}{3}=$` 35.

- Il est donc possible d'énumérer tous les billets différents.

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## La loterie transylvanienne

- C'est une loterie du type 3/7; c'est-à-dire que trois nombres sont choisis aléatoirement (sans remise) entre 1 et 7 inclusivement.

- Le joueur gagne si deux (ou trois) des trois nombres sur un certain billet sont parmis ceux choisis aléatoirement.

- Nous gagnons 6$ si nous avons les trois nombres (nous appelerons ce résultat un **trio**).

- Nous gagnons 2$ si nous avons deux nombres sur trois (nous appelerons ce résultat un **duo**).

- Nous ne gagnons rien si nous avons un nombre ou moins sur trois.

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## Si nous choisissons 7 billets (différents ou non), quelle est l'espérance de votre revenu?

### Nous gagnons 6$ si nous avons les trois nombres.

### Nous gagnons 2$ si nous avons deux nombres sur trois.

### Nous ne gagnons rien si nous avons un nombre ou moins sur trois.

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## Probabilités si nous choisissons 7 billets

- La probabilité d'obtenir un **trio** lors de l'achat d'un seul billet est donnée par `$\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{7}{3}}=\dfrac{1}{35}$`.

- Puisque les 7 billets peuvent être choisis avec remise, le nombre de **trios** suit une loi binomiale `$B\left(7,\frac{1}{35}\right)$`.

- L'espérance de cette loi binomiale est `$7\cdot\frac{1}{35}=\frac{1}{5}=0,20$`.

- Chaque **trio** rapporte 6$ et donc on s'attend à obtenir 1,20$.

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## Probabilités si nous choisissons 7 billets

- La probabilité d'obtenir un **duo** lors de l'achat d'un seul billet est donnée par `$\dfrac{\binom{3}{2}\binom{4}{1}}{\binom{7}{3}}=\dfrac{12}{35}$`.

- Puisque les 7 billets peuvent être choisis avec remise, le nombre de **duos** suit une loi binomiale `$B\left(7,\frac{12}{35}\right)$`.

- L'espérance de cette loi binomiale est `$7\cdot\frac{12}{35}=\frac{12}{5}=2,40$`.

- Chaque **duo** rapporte 2$ et donc on s'attend à obtenir 4,80$.

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## Probabilités si nous choisissons 7 billets

- Chaque **trio** rapporte 6$ et donc on s'attend à obtenir 1,20$.

- Chaque **duo** rapporte 2$ et donc on s'attend à obtenir 4,80$.

### En additionnant le revenu des **trios** et des **duos**, nous obtenons un revenu total de 6$.

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## Nous allons tout le monde choisir 7 billets en respectant les règles de la loterie transylvanienne, c'est-à-dire choisir trois nombres sans remise entre 1 et 7 inclusivement.

## Pour continuer à jouer, vous devez faire au moins 6$, les autres sont éliminés.

## On recommence avec les joueurs restants jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une personne!

---

## Choisissez 7 billets (différents ou non) en respectant les règles de la loterie transylvanienne, c'est-à-dire choisir trois nombres sans remise entre 1 et 7 inclusivement.

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## Voici mes numéros...

# 1-2-5, 1-3-6, 1-4-7, 2-3-7, 2-4-6, 3-4-5 et 5-6-7

Nous allons utiliser [www.random.org](https://www.random.org/quick-pick/?tickets=1&lottery=3x7.0x26) pour trouver le billet gagnant.

Le billet est donc...

Je gagne donc...

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# Comment choisir les numéros pour s'assurer de gagner?

## En utilisant la géométrie et le plan de Fano

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## Le plan de Fano

- En géométrie projective finie, le plan de Fano, nommé ainsi d'après le mathématicien Gino Fano, est le plus petit plan projectif fini.

- C'est-à-dire celui comportant le plus petit nombre de points et de droites, à savoir 7 de chaque.

- C'est le seul plan projectif (au sens des axiomes d'incidence) de 7 points, et c'est le plan projectif sur le corps fini à deux éléments.

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.center[
## <font color="red">1-2-5</font>, <font color="blue">1-3-6</font>, <font color="magenta">1-4-7</font>, <font color="black">2-3-7</font>, <font color="cyan">2-4-6</font>, <font color="yellow">3-4-5</font>, <font color="green">5-6-7</font>
]

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# Peut-on trouver un ensemble de billets nous assurant d'obtenir *tous* les billets ayant 5 des 6 numéros choisis à CashWinFall?

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## R. H. F. Denniston

- Article de 1976 dans le *Bulletin of the London Mathematical Society*.

- Denniston discute d'une nouvelle manière de construire un **système de Steiner**.

- Un système de Steiner de paramètres `$t$`, `$k$` et `$n$`, noté `$S(t,k,n)$`, est constitué de:

- un ensemble `$S$` à `$n$` éléments;
  
  - un ensemble de sous-ensembles de `$S$` à `$k$` éléments (appelés blocs);
  
  - tout sous-ensemble de `$S$` à `$t$` éléments est contenu dans un bloc et un seul.

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## R. H. F. Denniston

- Le système qui nous intéresse est `$S(5,6,48)$`.

- Chaque combinaison de 5 numéros parmi 6 apparaît sur **exactement** un billet.

- Denniston trouve une liste de 285 384 combinaisons de 6 numéros.

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## R. H. F. Denniston

- CashWinFall est une loterie à seulement 46 numéros.

- On doit enlever tous les billets contenant un 47 ou un 48.

- Ça nous donne une liste de 217 833 combinaisons de 6 numéros.

- Qu'arrive-t'il si nous jouons à CashWinFall avec ces 217 833 billets?

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## On pige six numéros au hasard qui forment le billet gagnant

- Vous avez 217 833 chances sur 9 366 819 de gagner le gros lot, soit environ 2.325581% des chances.

- Si vous n'avez pas le billet gagnant, vous pouvez gagner en ayant un billet ayant cinq des six numéros.

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## 1-10-18-25-36-37

### 1-10-18-25-36

Si vous ne l'avez pas, c'est que:

### 1-10-18-25-36-47

### 1-10-18-25-36-48
]

### 1-10-18-25-37

Vous ne pouvez pas avoir:

### 1-10-18-25-37-47

### 1-10-18-25-37-48
]

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## 1-10-18-25-36-37

### 1-10-18-25-36

Si vous ne l'avez pas, c'est que:

### <font color="red">1</font>-<font color="red">10</font>-<font color="red">18</font>-<font color="red">25</font>-36-<font color="red">47</font>

### <font color="blue">1</font>-<font color="blue">10</font>-<font color="blue">18</font>-<font color="blue">25</font>-36-<font color="blue">48</font>
]

### 1-10-18-25-37

Vous ne pouvez pas avoir:

### <font color="red">1</font>-<font color="red">10</font>-<font color="red">18</font>-<font color="red">25</font>-37-<font color="red">47</font>

### <font color="blue">1</font>-<font color="blue">10</font>-<font color="blue">18</font>-<font color="blue">25</font>-37-<font color="blue">48</font>
]

### Si 47 (ou 48) vous fait rater une combinaison, il ne peut pas vous en faire rater une autre!

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## 1-10-18-25-36-37

De toutes les combinaisons possibles de cinq numéros parmi 6:

### 1-10-18-25-37

### 1-10-18-36-37

### 1-10-25-36-37

### 1-18-25-36-37

### 10-18-25-36-37
]

Vous êtes *assurés* d'en avoir au moins quatre!

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## Lors du tirage

En achetant 217 833 billets, vous avez une probabilité de 0.0232558 de gagner le gros lot.

<table class="table table-striped table-hover table-condensed" style="font-size: 16px; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Résultat </th>
   <th style="text-align:right;"> Probabilité </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 4 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0124774 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 5 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.2367021 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 6 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.7275647 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[
Si vous achetez les 217 833 billets de Selbee vous avez:
<table class="table table-striped table-hover table-condensed" style="font-size: 16px; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Résultat </th>
   <th style="text-align:right;"> Probabilité </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Aucun 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0037670 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 1 billet 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0210259 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 2 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.0586780 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 3 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1091702 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 4 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1523324 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 5 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1700467 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> 6 billets 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.1581834 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Plus de 6 billets de 5 dans 6 </td>
   <td style="text-align:right;"> 0.3267964 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

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### Les méthodes Denniston et Selbee ont la même espérance mathématique de gains.

### La méthode Selbee augmente le risque par rapport à la méthode Denniston.

### Bien sûr, ce risque vient avec un avantage, Selbee a une probabilité d'environ 32.6796425 % d'obtenir plus de 6 des prix 5 numéros sur 6, ce qui est impossible en achetant nos billets avec la méthode Denniston.

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# Des questions?